Для составления этого многочлена можно воспользоваться следующими многочленами, точно принадлежащими соответствующим группам (здесь е - первообразный корень пятой степени из единицы):

Cj: {Xi-zx-zx-tH + zxf,

В5: ATiATj + АГгДГз -f XX4 -f 45 + 51.

B: {X1X2 + ATjATs -f д:зд:4 -Ь 45 + xx - xx -

- ATgATj - XX - X2X4 - X4XiJ, Л5: {Xi, ATg. JCg, X4, ATg) (CM. ГЛ. I, n. 4).

В общем случае коэффициенты соответствующих многочленов g{z) (конечно, кроме многочлена, соответствующего группе Л5) весьма сложно выражаются через коэффициенты многочлена f {х), и мы их вычислять не будем. Однако с принципиальной стороны это вычисление не представляет никаких трудностей и требует лищь определенного терпения. Во всяком случае, для каждого конкретного уравнения (с числовыми коэффициентами) это вычисление всегда можно провести до конца в конечное число чисто механических действий. На практике следует в первую очередь найти дискриминант D многочлена f (х). Если он не является полным квадратом, то группа Галуа многочлена либо совпадает с симметрической группой Sr,, либо сопряжена с метациклической группой Bj. В противном случае группа Галуа сопряжена с одной из трех групп Cg, В5, А. Полезно также иметь в виду, что если многочлен g{z), соответствующий

существует и если многочлен g(z) не имеет кратных корней, то группа Галуа многочлена / (л:) содержится в соответствующей группе Cj, Bj, Bg (или в некоторой сопряженной группе).

Степень многочлена g{z), равная индексу соответствующей группы в группе S, указана в следующей таблице:

группе С5, имеет корень в поле Р (и не имеет кратных корней), то группа Галуа данного многочлена сопряжена с группой Cj (ибо эта группа не имеет транзитивных подгрупп).

6. Определяющий многочлен для метациклической группы

Рассмотрим подробнее многочлен О {г) для метациклической группы fig. За исходный многочлен g, точно принадлежащий группе fig, мы примем указанный в предыдущем пункте многочлен h, где

А = х1х2 -(- •г-зН" хх--\- хцх-\~ xxi - хх -

- ххс, - хх2 - 24 - 4;.

Легко проверяется, что подстановки

si = e, Sj = (123). 5з = (234). *4 = (345).

г?5==(14 5). Se = (12 5)

образуют полную систему представителей смежных классов группы по ее подгруппе Ву Следовательно,

О (.) = (. - А) iz - А» j iz - А2 J (. ~ hl iz - А» j iz - h]).

Положим

H iz) = iz-h)iz- hs,) iz - A,.) iz ~ hs,) iz - hs.)iz - hs,). Ясно, что

Qiz)=Hiz)Hi~z).

Таким образом, достаточно вычислить лишь многочлен н{г). Пусть

Я (г) = ггв ц js -f bz* + b,z + bz + V + ftg.

Без труда проверяется, что многочлен А точно принадлежит полуметациклической группе В, причем под воздействием подстановок из группы В, не принадлежащих группе fij, этот многочлен лишь меняет знак. Следовательно, для любой подстановки aS многочлен A„ совпадает с одним из многочленов Л или - Aj, причем первый случай имеет место, когда подстановка а четна, а второй - когда она нечетна. Отсюда вытекает, что коэффициенты ftj, b, b

многочлена H{z), являющиеся симметрическими функциями многочленов hs четной степени, не меняются под воздействием произвольной подстановки aS, т. е. являются симметрическими многочленами от дГр х, х, Х4, х. Напротив, коэффициенты Ь, Ь, Ь, являющиеся симметрическими функциями многочленов А нечетной степени, не меняются лишь под воздействием четных подстановок и меняют свой знак под воздействием нечетных подстановок.

Но легко видеть, что любой, обладающий этим свойством многочлен b(xi.....х) делится на определитель Вандермонда Д = Д(а:1.....JCg). Для доказательства следует рассмотреть многочлен b(Xi.....х) как многочлен от Xi над

полем Я(а:2.....х). Очевидно, что величины Х2.....являются его корнями, т. е. при подстановке в многочлен b(xi.....х)

вместо неизвестной aTj любой из неизвестных aTj.....х

этот многочлен обращается в нуль. Действительно, например, многочлен Ь{Х2, Х2.....Jfg) под воздействием транспозиции (1 2) с одной стороны не меняется, а с другой - меняет знак. Поэтому он равен нулю. Следовательно, многочлен b{Xi, .... JCj) делится на разности Xi - atj, х- - х (теорема Безу). По аналогичным соображениям он делится и на все другие разности вида Xi - Xj, а потому делится и на их произведение Д. Соответствующее частное ft/Д является, очевидно, симметрическим многочленом от aTi, ..., х.

Таким образом, мы видим, что многочлен Н (г) имеет следующий вид:

H(z) = z~\- b2Z* + + ftg -I- Д (c,z -I- -f cz),

где &2> *6> i- 3 5 - некоторые симметрические многочлены от Xi.....ATg.

Оценим теперь степени многочленов с-, с, с. Многочлены hs являются квадратичными формами от неизвестных

jfi.....jCg. Поэтому коэффициенты ft( являются однородными

многочленами степени 21 от х.....х„. В частности, многочлены bi = Ci, &з = Дсз, *5 = Дс5 имеют соответственно степени 2, 6 и 10. Но многочлен Д имеет степень 10. Поэтому

Cj = 0, Cj = 0, Cj = const,