Тем самым доказано, что

многочлен Н {z) имеет следующий вид:

Я (2) = «6 + *2г* + + *б + Д С2,

где *2. *4 *б - однородные симметрические многочлены

от JCi.....JCj степеней 4, 8 и 12 соответственно, Д -

определитель Вандермонда и с - постоянное число {элемент поля Р).

Отсюда вытекает, что

многочлен Q{z) имеет вид

О {Z) = («3 -I- 22 bZ + *б) - О-г.

где &2. *4> *б " имеют прежние значения, а D - квадрат определителя Д.

е. Случай уравнений в нормальном виде

Мы будем говорить, что многочлен f{x) пятой степени имеет нормальный вид, если

f{x) = x-\-ux-{-v, (1)

где и, V - элементы основного поля Р. Ниже (см. п. 8) мы покажем, что любой многочлен пятой степени можно привести к такому виду, а в этом пункте мы вычислим для таких многочленов многочлен g{,z), получающийся из найденного в предыдущем пункте многочлена О {z) подстановкой вместо неизвестных х.....х корней aj, ..., ag многочлена (1). Мы имеем

g{z) = (z 4- bz + b,z + - Dch,

где D - дискриминант многочлена (1), с - некоторое число, не зависящее от а и г», а &2> *4> *б-симметрические многочлены от корней а;, степеней 4, 8 и 12 соответственно. Согласно общей теории симметрических многочленов, многочлены &2. *б должны выражаться через элементарные симметрические многочлены и л v. Но многочлен и имеет степень 4, а многочлен v - степень 5. Поэтому

*2 = С2«, bi = еу, *в = си.

где Сд, С3, С4 - некоторые постоянные (не зависящие от и и V). Таким образом,

g{z) = {z-rC2az-\-CiUz + CsU) - Dcz.

(Заметим, что коэффициент v в выражение многочлена g(z) явно не входит.)

Для того чтобы найти постоянные числа С2, с, Cg и с, мы рассмотрим многочлен

- X (а = - I, v = 0). Для этого многочлена

ai==0, 02 = 1, аз=-1. а - ~1, а=1. Следовательно, Д(а1.....«5) =

= (/-0)(- 1-0)(-/-0)(1-0)(-1-0(-/-ЛХ X(l-0(-Z-fl)(l-f l)(I-hO =

= 22/(l--/)2(l /)2= 16/.

то есть

D = - 256. Таким образом, в рассматриваемом случае

g (г) = (3 - ctz + cz - св)2 -(- 256с22.

то есть

g- (г) = г;в 2c2Z -I- (с* + 2С4) г* -2 (ГдС + Cg) +-

+ (с1 + 22,.) «2 (2с4Св - 2562) Z 4- с?.

С другой стороны, легко видеть, что

A(ai.....а5)=-2Л А,, (aj.....а5)=-2Л

А (ai, .... as) = - 2/, А,, (aj.....ag) = - 2/,

Ai, («1.....as) = 2 + 4/, A,, (a.....aj) = - 2 4 4Л

Поэтому

g(z) = (г + 4)t(2 + 12 - 160(2 + 12 + 160 = 4- 40z5 + -I- 8802* -f 89603 -I- 44 8002;2 4 108 544 4 102 400.

Приравнивая коэффициенты, мы легко получим, что Са = 20. <:4 = 240, Св=320, с = 32.

Таким образом, мы окончательно получаем, что

g(2) = {z - -1- 240а22 -f- 320«3)2 \ШОг. Здесь удобно ввести новое неизвестное

Для этого неизвестного мы получим (после сокращения на 1024) многочлен

(уЗ 5ау2 + 15«2y + 5иЗ)2 Dy. (2)

Таким образом,

если многочлен (2) не имеет кратных корней, то группа Галуа многочлена (1) тогда и только тогда сопряжена некоторой подгруппе метациклической группыВ, когда хотя бы один корень многочлена (2) принадлежит полю Р.

Заметим, что это утверждение справедливо и для приводимых многочленов (1),

7. Уравнения пятой степени, разрешимые в радикалах

Результаты предыдущего пункта позволяют, в частности, полностью описать все уравнения пятой степени (имеющие нормальный вид), которые можно решить в радикалах. Действительно, если уравнение

x-ux-\-v = 0 (1)

приводимо, то оно сводится к уравнениям меньших степеней и потому решается в радикалах. Если же уравнение (1) неприводимо, то его группа Галуа либо содержит группу (и поэтому неразрешима), либо сопряжена некоторой подгруппе метациклической группы (и поэтому разрешима). Кроме того, оказывается, что если многочлен

(3)3 5иу2 . 15ц2у 5цЗ)2 Dy (2)

имеет кратный корень, що уравннц (I) решается § радикала;.