Действительно, пусть многочлен (2) имеет кратный корень уо- Тогда

(уЗ 5ау2 + 15а2уо + aj - Dy = О, (3)

2 (уЗ - 5иу1 + 15а\ + 5аЗ) (Зу? 1 Оау + 152) D = 0.

Следовательно,

(уЗ-5ау2+ 15и2у+5аЗ)2

-2(у2-5ау24.15и2у + 5аЗ)(Зу2 10ау+ 15и2)Уо = 0. (5)

Если D = 0, то уравнение (1) имеет кратные корни, приводимо и решается в радикалах. Пусть D ФО. Тогда ввиду равенства (4)

у1-5иу1+15а\ + 5аФ0.

Следовательно, после сокращения мы получим из уравнения (5) уравнение

5уЗ - 15ну2 + 15и\ - 5«3 = 0. из которого следует, что

Уо = и.

Подставляя это значение уо в равенство (3), мы получим, что

Da = 256нб.

Но легко сосчитать, что для уравнения (1)

D=256h5 +31254. (б)

Следоьательно,

3125wtt = 0.

т. е. либо и = 0, либо © = 0. В обоих случаях уравнение (1) разрешимо в радикалах.

Задача. Доказать формулу (6).

Из всего сказанного вытекает следующее окончательное утверждение.

Уравнение (1) тогда и только тогда решается в радикалах, когда оно либо приводимо, либо хотя бы один корень мндгдчл(на (2) принадлежцт основному полю Р,

Это утверждение справедливо для любых уравнений (1), даже имеющих кратные корни.

Пользуясь формулой (6), многочлен (2) можно переписать в следующем виде:

(у - и)* (у2 - бну 4- 25а2) 3125v*y. Пусть этот многочлен имеет корень УоР. Полагая

где X, (i - некоторые параметры, мы получим, что

(цХ и)4 (ц2Х2 би2х 4- 25и2) - 3125tt V 0.

Отсюда

3125Х« 3125V .7.

" - (X -1)«(X» -6Х + 25) (X -1)<(X» -6Х + 25)

Таким образом,

уравнение (1) тогда и только тогда решается в радикалах, когда оно либо приводимо, либо его коэффициенты и и V имеют вид (7), где X и (i - некоторые элементы основного поля Р.

8. Приведение уравнения пятой степени к нормальному виду

Покажем в заключение, что любое уравнение

ах -f fljA:* 4- ах + 32 -)- ал; -f- flg = О (1)

пятой степени может быть приведено к нормальному виду. С этой целью мы введем новое неизвестное у, полагая

у = Со4-С1д: + С2Д:2 4-Сзд:3 4-C4д: (2)

где Со.....- некоторые, пока неопределенные параметры.

Для того чтобы составить уравнение, которому удовлетворяет неизвестная у, следует исключить из уравнений (1) и (2) неизвестную х. Согласно общей теории исключения (см. Курс, стр. 340), для этого нужно составить результат много» членов

<оХ + (iix* 4- а2Х + ах + «4- + «5.

СХ + СзАгЗ -- СХ 4" СХ -f- (Cq - у)

аскрывая этот определитель, мы получим, что уравнение для у имеет вид

У" + су + Сгуз + Сзу2 + С4У + Cj = О,

где Cl.....Cj - некоторые однородные многочлены от

параметров Cq.....с. Коэффициенты этих многочленов

являются многочленами от коэффициентов Uq.....исходного уравнения (1) и поэтому принадлежат основному полю Р.

Легко видеть, что степень многочлена С(, /=1.....5,

равна /.

Выберем теперь параметры Cq.....так, чтобы удовлетворялись уравнения

Ci = 0, С2 = 0, Сз = 0.

т. е. чтобы уравнение для у имело нормальный вид

У + С4У-+-С5 = 0. (3)

Первое уравнение Cj = 0 линейно. Получив из него выражение, скажем, параметра через параметры Cj, Cj, С3, С4, внесем его в остальные два уравнения. В результате мы получим некоторые уравнения

с;=о, с;=о

второй и третьей степени относительно параметров с, Cg, С3, с.

Выражение" С представляет собой квадратичную форму от переменных Cj, Cj, С3, 4. Согласно теории приведения квадратичных форм (см. Курс, стр. 175), эту форму можно