ОН излагается нами лишь для выяснения полной системы соотношений между введенными классами расширений.

Пусть Р - произвольное поле. Рассмотрим множество К всех алгебраических над полем Р чисел. Пусть а.К и р/С. Тогда расширение Р(а, р) является алгебраически порожденным и, следовательно, конечным расширением. Поэтому все его элементы, и значит, в частности элементы а + р, ар, - а и а~1 (если а =5 0), алгебраичны над Р, т. е. принадлежат К. Следовательно, множество К является полем. По определению, оно является алгебраическим расширением поля Р.

Предположим, что над полем Р существуют неприводимые многочлены сколь угодно большой степени (этому условию удовлетворяет, в частности, поле R рациональных чисел; см. Курс, стр. 354). Тогда поле К будет содержать элементы сколь угодно большой, степени, и поэтому его степень не может быть конечной, т. е. поле К будет бесконечным расширением.

Таким образом, действительно существуют алгебраические бесконечные расширения (по крайней мере, над полем рациональных чисел).

Задача. Доказать, что поле К всех алгебраических чисел над полем Р алгебраически замкнуто.

9. Композит полей

Пусть Кх и К2 - произвольные поля. Их композитом К называется минимальное поле, содержащее как поле /С,, так и поле Существование поля К следует из того, что его можно определить как пересечение всех полей, содержащих оба поля К\ и /2- Примером композита является расширение P(ai, 02), порожденное числами а, и 02. Это расширение будет композитом расширений Я («О и (aj).

Простой и пригодный во всех интересных случаях способ построения композита описывается следующей теоремой.

Если поля /<, и К2 являются расширениями некоторого поля Р. причем существуют такие числа .....6,

К2 = РФ1.....9.).

К = К{Ь.....%).

9. композит ПОЛЕЙ 25

Действительно, так как РсК, то поле КФх, .... 9)

содержит поле K2 = P(i.....9) (и, краме того, очевидно,

поле Kl). Поэтому в силу минимальности композита

KcKiibi.....9,).

С другой стороны,

Ki(bi.....6,) с/С,

KicK и 9,.....ОК.

Применим эту теорему к случаю, когда числа Ь, ., алгебраичны над Р, т. е. к случаю, когда поле К2 является алгебраически порожденным (т. е. конечным) расширением поля Р.

Алгебраические над полем Р числа б;.....0 алгебраичны и над полем К. Поэтому любой элемент поля К =

= Kl (9).....9) выражается в виде многочлена от 9i, ,.., 9,

с коэффициентами из поля Ki (см. п. 5). Отсюда вытекает, что любой элемент поля К можно представить в виде

а,р,4. ... +а,р„ (U

где Pi.....r2 (именно, pi.....р суть

некоторые одночлены от 9,.....9). Таким образом,

если хотя бы одно из расширений Ki, К поля Р конечно, то любой элемент их композита К имеет вид (1).

Задач а. Доказать, что композит конечных расширений является конечным расширением.

ГЛАВА 2

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП

1. Определение группы

Говорят, что в непустом множестве О определена алгебраическая операция, если задано правило, по которому любым двум элементам аО, bG ставится в соответствие некоторый однозначно определенный элемент сО. Элемент с обычно обозначается через аЬ, в связи с чем рассматриваемая алгебраическая операция называется умножением. Иногда элемент с обозначается через а-\-Ь, п тогда алгебраическая операция называется сложением. Мы, как правило, будем пользоваться первой, мультипликативной записью.

Множество О с алгебраической операцией называется группой, если

1) для любых элементов а, Ь, cG

(ab) с -а фс);

2) существует такой элемент еО, что

ае=еа = а

для любого элемента а О;

3) для любого элемента аО существует такой элемент а~0, что

Условие 1) (закон ассоциативности) позволяет однозначным образом определить произведение любого конечного числа элементов группы, т. е. позволяет доказать независимость произведения любых п элементов от первоначального распределения скобок. Детальное доказательство см. Курс, стр. 272.