представить в следующем виде:

где Zi..... 4 - некоторые линейные формы (возмоисио,

равные нулю) от неизвестных .....с. Коэффициенты

этих линейных форм, вообще говоря, принадлежат не полю Р, а некоторому большему полю, порожденному над полем Р корнями квадратными из элементов поля Р. Потребовав, чтобы удовлетворялись линейные уравнения

Zi = lZ2. Zs = lZi (i = Y~), (4)

мы автоматически удовлетворим и квадратному уравнению

с;=о.

Решив уравнения (4\ скажем, относительно неизвестных Cl, С2 и, подставив получающиеся выражения в уравнение Сд = О, мы получим для параметров и некоторое однородное уравнение третьей степени

Выбирая произвольно параметр с, например полагая Сз=1, мы получим отсюда для параметра С4 кубичное уравнение. Решив его, мы найдем параметр С4, а потому и все остальные параметры Cq, Cj, с,

Тем самым показано, что

преобразованием (2) любое уравнение (1) можно при-вести к нормальному виду (3),

Получающееся уравнение (3) будет уравнением уже не над полем Р, а над некоторым большим полем Q, порожденным над полем Р корнями квадратных и кубичных уравнений. Поскольку квадратные и кубичные уравнения разрешимы в радикалах, уравнение (1) тогда и только тогда разрешимо в радикалах над полем Р, когда над полем Q разрешимо в радикалах уравнение (3). Поскольку на вопрос о разрешимости в радикалах уравнения (3) мы отвечать умеем, отсюда следует, что

для любого уравнения пятой степени (1) мы можем эффективно ответить на вопрос, разрешимо оно в радикалах или нет.

ГЛАВА 3

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В НЕПРИВОДИМЫХ РАДИКАЛАХ

1. Формулировка основной теоремы

Тот факт, что корень б некоторого уравнения выражается в радикалах, означает, что он может быть получен в результате решения цепи двучленных уравнений вида

Jc" -ai = 0. jc" -aj = 0..... jc"* -a, = 0,

где число aj принадлежит основному полю Р, число -

полю Рх = p{yi\ число Из - полю Яд = Л ( V*r) " т. д. Таких «разрешающих» цепей двучленных уравнений может существовать, вообще говоря, много. Интересен вопрос: существует ли разрешающая цепь, состоящая из неприводимых уравнений? В случае, когда такая цепь существует, мы будем говорить, что корень б выражается в неприводимых радикалах.

На первый взгляд кажется, что класс уравнений, корни которых выражаются в неприводимых радикалах, значительно уже класса уравнений, корни которых выражаются в любых радикалах. Действительно, разрешающие цепи двучленных уравнений, построенные согласно методам, изложенным в ч. И, гл. 2, обязательно содержат приводимые уравнения вида

jc"-1=0,

корнями которых служат корни из единицы (этих уравнений не будет только в том случае, когда основное поле Р содержит все нужные корни из единицы), и как обойтись без этих уравнений, а приори совершенно не ясно. Тем не менее оказывается, что

2. СВЕДЕНИЕ Основной ТЕОРЕМЫ к ДВУМ tJACTHbtM сАуЧкяи 161

если корень некоторого уравнения выражается в радикалах, то он выражается и в неприводимых радикалах.

Эта важная теорема позволяет оценить «сложность» любого разрешимого в радикалах уравнения. Именно за меру сложности можно принять набор степеней неприводимых радикалов, через которые выражается корень данного уравнения. (Вопрос о том, в какой мере этот набор степеней определяется данным уравнением, мы здесь не рассматриваем.)

Доказательству сформулированной теоремы будет посвящена вся эта глава. Мы проведем его в рамках теории полей, и потому в первую очередь нам нужно сформулировать эту теорему на языке теории полей.

Расширение К основного поля Р мы будем называть неприводимо-радикальным расширением, если существует такая цепочка

P = Lq<=:Li<=: ... cl, ,cl,c ... c:L = K

вложенных друг в друга подполей поля К, начинающаяся с поля Р и кончающаяся полем К, что для любого / = 1.....

где 9, - корень некоторого неприводимого (над полем i, i) уравнения вида

Интересующую нас теорему мы можем теперь сформулировать в следующем виде (в котором мы и будем ее доказывать):

любое радикальное расширение содержится в некотором неприводимо-радикальном расширении.

Задача. Доказать, что имеет место следующее «обратное» утверждение: любое неприводимо-радикальное расширение содержится в некотором радикальном расширении.

2. Сведение основной теоремы к двум частным случаям

В этом пункте мы покажем, что для доказательства сформулированной в конце предыдущего пункта основной теоремы этой главы достаточно доказать следующие ее частные случаи.