Класс [5] мы будем в дальнейшем обозначать символом Xja или просто X. Циклическую подгруппу порядка 2"" группы 12", порожденную элементом х, мы будем обозначать символом Аг". Она состоит из элементов

е = X, х\ .... х--\ (4)

Рассмотрим теперь класс [ -числа -1 по модулю 2". В дальнейшем этот класс мы будем обозначать символом или просто у. Ясно, что у2 = е. Оказывается, что класс у не принадлежит подгруппе Ха. Действительно, если бы,

например, у = а:, где 1 <;<;2~-1, то число 5-- 1 делилось бы на 2" и потому делилось бы на 4, что, как легко видеть, невозможно (почему ?).

Отсюда вытекает, что, кроме элементов (4), группа Z2 содержит также элементы

у = еу, лгу, Агу.....Аг-у, (5)

причем все эти элементы отличны друг от друга и от элементов (4).

• Поскольку элементов (4) и (5) вместе ровно 2°", они исчерпывают собой все элементы группы Zi<.

б. Пруппы Галуа примарных круговых расширений

Поля вида Я (С), где С-некоторый корень из единицы, мы будем называть круговыми расширениями поля Р. Это название связано с тем, что корни из единицы степени п определяют разбиение окружности на п равных частей.

Показателем кругового расширения Р(С) мы будем называть такое число и, что корень С является первообразным корнем из единицы степени п. Если число п примарно, т. е. имеет вид р", где р - простое число, то круговое расширение мы будем называть примарным.

Как мы знаем (см. ч. 11, гл. 1. п. 1), группа Галуа О (Я (С), Я) кругового расширения Я (С) с показателем и изоморфна некоторой подгруппе мультипликативной группы Z„ классов по модулю п. Для п = р" отсюда и из результатов предыдущего пункта немедленно вытекает, что

при р нечетном {а также при р = 2 и а<;2) группа Галуа G(P{(,), Р) примарного кругового расширения Я (С) с показателем р" является циклической группой, порядок которой делит число р"- (р-1).

Пусть теперь р = 2 и а>.3. Рассмотрим подгруппу Н группы Zi", которой изоморфна группа Галуа О (Я (С), Я). Возможны следующие три случая:

1) подгруппа Н не содержит элементов вида А:*у;

2) подгруппа Н содержит элементы вида jc*y и не содержит ОТЛИЧНЫХ от е элементов вида л:*;

3) подгруппа Я содержит элементы обоих видов.

В случае 1) подгруппа Я содержится в подгруппе Х,а и потому является циклической группой, порядок которой делит число 2°-.

Если подгруппа Я содержит элемент ху, то она содержит и элемент х* = (JC*y)2 (напомним, что у = е). Поэтому в случае 2) число k либо равно нулю, либо равно 2"". Обоих элементов у и ху подгруппа Я содержать не может, так как их произведение равно х~. Таким образом, либо Н={е, у], либо Н=[е, ху]. так что в случае 2) подгруппа Я также является циклической группой (порядка 2, делящего число 2°").

В случае 3) мы рассмотрим пересечение Я = Я П Ла, т. е. совокупность всех элементов вида л:*, содержащихся в подгруппе Я. Это пересечение, являясь подгруппой группы Aj*, представляет собой циклическую группу. Пусть х - ее образующая. Число г, являясь индексом подгруппы Hq в группе Х, делит порядок 2" группы Х,а, т. е. имеет вид 2, где О <; / а - 3. По условию подгруппа Я, кроме степеней элемента х, содержит также некоторые элементы вида А:*у. Рассмотрим следующие два случая:

З") ни для одного элемента jc*y Я показатель k не делится на г;

З) хотя бы для одного элемента jc*y Я показатель k делится на г.

В случае 3") любой элемент х*у Я мы можем (разделив с остатком число k на число г) представить в виде произ-

ведения (хУ • ху, где kg < г. Так как х Н, то х>у И. С другой стороны, если хуи kQ<,r, то, поскольку jc2*o (jc*»y)2 Яц, число 2/jo должно делиться на г, что возможно лишь при /j() = /-/2 (заметим, что в рассматриваемом случае />!). Итак, любой элемент хуН имеет

ВИД {x) • ху. Но это выражение равно \ху) ибо

(л;у) =х. Кроме того, любой элемент вида {xf ( - V

равен \ху) . Таким образом, мы видим, что любой эле-

мент подгруппы Я является степенью элемента ху, т. е. подгруппа Я является циклической подгруппой с образую-

щей ху. Порядок подгруппы Я равен, очевидно, 2 • 2""" = = 2" и, следовательно, делит число 2"" (ибо t > 0).

Наконец, в случае 3*) подгруппа Я содержит, очевидно, элемент у и потому состоит из элементов подгруппы Яц и их произведений на элементу. Эта группа уже нециклическая. Она содержит циклическую подгруппу Яд порядка г". факторгруппа по которой является группой второго порядка.

Возвращаясь к группе Галуа поля Я (С), мы окончательно получаем:

при р = 2 и а>3 группа Галуа 0{P{i). Р) либо является циклической группой, порядок которой делит число 2", либо, являясь нециклической группой, со-держит циклическую подгруппу, порядок которой делит число 2"", причем соответствующая факторгруппа является группой второго порядка.

Как случай нечетного р, так и случай р = 2 можно объединить в следующей общей теореме:

в поле Р(С) с показателем существует такое промежуточное подполе Р, что

1) группа Галуа 0{Р(), Р) поля Я (С) над полем Р является циклической группой, порядок которой делит число р~{р- 1);

2) степень поля Р над полем Я либо равна единице (т. е. Р = Р), либо равна двум.

Степень поля Р над полем Я тогда и только тогда равна двум, когда группа О (Я (С), Я) не циклична (и, значит.