р = 2 И fl > 3). в этом случае поле Р определяется как подполе поля Я (С), соответствующее указанной в предыдущей теореме циклической подгруппе группы 0(Я(!), Я).

Пусть 5 - образующая этой подгруппы. Поскольку при мономорфизме ср: О (Я (С). Я)->22 (см. ч. II, гл. 2, п. 1), эта образующая переходит в элемент х, т. е. в класс [Ъ\а, ее действие на элементе С определяется формулой

Аналогично действие автоморфизма Т, соответствующего элементу у, определяется формулой

Так как 5=4/--1, где t-некоторое целое число, то из этих формул вытекает, что

С другой стороны, так как

то С2-=±Л где t-Y-~l. Таким образом, мы видим, что /Я(С), причем

Из первого равенства следует, что 1Р, а из второго, что / Я (ибо Ф 1). Таким образом, во-первых, поле Р{1) содержится в поле Р, а во-вторых, степень поля Р{1) над полем Я равна двум. Это возможно только тогда, когда Р = Р(1). Таким образом,

если РФР, то Р = Р{1).

6. Доказательство теоремы В

Теперь мы уже в состоянии доказать теорему В. Ее доказательство мы проведем индукцией по показателю п, кругового расширения Я (С).

Если ге=1 (а также если ге = 2) поле Я(С) совпадает с полем Я, так что в этом случае теорема Б тривиальным

О*

образом справедлива (за неприводимо-радикальное расширение К, содержащее данное круговое расширение Р (С), можно принять само поле Р).

Предположим теперь, что теорема В уже доказана для всех круговых расширений с показателями, меньшими п (каково бы ни было поле Я), и докажем ее для расширения Я (С) с показателем п. Будем различать следующие два случая:

(I) число п делится по крайней мере на два различных простых числа;

(II) число п имеет вид р", где р -простое число. Случай (1).В этом случае число п можно представить

(вообще говоря, многими способами) в виде произведения П1П2 двух взаимно простых чисел л, и п, каждое из которых меньше п. Пусть Ci и С2 - первообразные корни из единицы степеней и rej соответственно. Так как С1Я(С) и Р{), то Я (С,, С2)с:Я(С). Оказывается, что имеет место и обратное включение P{i)c:P{ii, С2). так что

Я(С) = Я(С1. С2). (1)

Для доказательства этого включения достаточно показать (почему?), что произведение С1С2 представляет собой первообразный корень из единицы степени п, т. е. что из равенства (С1С2)" = 1 вытекает, что т. делится на п. Но если ((;,С2)"= 1, то = С2""=1. ибо, согласно лемме, доказанной на стр. 70-71, для взаимно простых чисел и rej существуют такие числа и к v, что niU~\-n2V=l, и потому

СГ = СГ = (с?-)" • (СГ)"" = (Сг-Г = (С?)""" = 1.

Поскольку корень Cj является по условию первообразным корнем из единицы степени га,, из равенства СГ = 1 вытекает, что т делится на га,. Аналогично, из равенства С2"= 1 вытекает, что т делится на Пoэtoмy т делится и на пПч (ибо т = тпи-\-mnv). Тем самым равенство (1) полностью доказано.

Поскольку показатель га, расширения Я (С,) меньше га, поле Р(*\) содержится, по предположению индукции, в некотором неприводимо-радикальном расширении Кх поля Я. Рассмотрим поле Л", (Сг). Это - круговое расширение поля Кх с показателем raj, меньшим га. Поэтому, снова по предпо-

ложению индукции, поле /CjCCa) содержится в неприводимо-радикальном расширении К поля Ку Для завершения доказательства теоремы остается теперь заметить, что поле />(С) = Я(С,, Сг) содержится в поле К и что это последнее поле является неприводимо-радикальным расширением поля Р (см. лемму из п. 2).

Случай (II). Пусть теперь п = р. Наряду сполем Я (С) рассмотрим поле Р(7)), где т) - первообразный корень из единицы степени p«-i(P-!)• Так как рЧр - 1)< р", то, по предположению индукции, поле Я(7)) содержится в некотором неприводимо-радикальном расширении Ki поля Р. Пусть /C = /Ci(C). Как мы знаем (см. п. 5), в поле К содержится такое подполе К\-=)К\, что группа Галуа 0{К, является циклической группой, порядок которой делит число (р - 1). Другими словами, поле К является циклическим расширением поля К\. Поскольку поле Ki содержит, по построению, первообразный корень из единицы степени р~{р-1), а потому и первообразный корень из единицы степени, равной степени поля К, над полем К\, к этому циклическому расширению применима теорема, доказанная в ч. П, гл. 2, п. 2, согласно которой поле К является неприводимо-радикальным расширением поля к!\. Так как поле К\ либо совпадает с полем Ку либо имеет вид КЦ) (см. п. 5), и потому является неприводимо-радикальным расширением поля Кх, то поле К представляет собой неприводимо-радикальное расширение поля Ку а следовательно, и поля Р. Для завершения доказательства остается заметить, что Р()<=.К.

Тем самым теорема В, а значит и основная теорема, сформулированная в п. 1, полностью доказана,