ВОДИМОГО над полем R многочлена f{x) с корнем т). Так как то те. С другой стороны, легко видеть,

Y,, = 7)< / = 0, 1.....е-1,

откуда следует, что все периоды т), являются корнями многочлена fix). Таким образом, многочлен f{x) имеет, по крайней мере, е различных корней, и потому те. Следовательно, т = е и

Отсюда, в частности, вытекает, что

любой период выражается в виде многочлена (с рациональными коэффициентами) от периода т).

2. Решение уравнений деления круга

В этом пункте мы применим результаты п. 1 к задаче «решения» уравнения деления круга на р частей, т. е. к задаче приведения этого уравнения к цепи возможно более простых уравнений.

Задача. Доказать, что RecRe тогда и только тогда, когда е делится на е и что степень [Re : Re\ поля над полем Re равна eje.

Пусть

- разложение числа р - 1 в произведение (не обязательно различных) простых чисел q.....q,. Полагая

R(Q) - R R(l) = dl /=1.....s,

мы получим в поле /?(С) цепочку последовательно вложен. НЫХ друг в друга подполей

Я =/?(о)С/?(1)С: ... с:/?(j i)<z= (С)

обладающую тем свойством, что каждое подполе этой це. почки (кроме поля /?(о)) имеет над предшествующим под.

полем простую степень (именно поле R, /=1.....s

имеет над полем степень q). Другими словами, пола»

гая = /?(; !)(«(), мы получим, ЧТО

/?(С) = /?(а,, а,.....ар,

причем для любого / = 1, .... s число является корнем некоторого неприводимого уравнения простой степени q, над

полем /?,, !) = /? (а,.....На языке теории уравнений

это означает, что

решение уравнения деления круга на р частей сводится к решению уравнений простых степеней q,

42.....Яз-

Назовем простое число р числом Ферма, если число р-1 является степенью двойки, т. е. имеет вид 2" (легко видеть, что это возможно лишь тогда, когда показатель п также является.степенью двойки. Из только что доказанного утверждения немедленно вытекает, что

если простое число р является числом Ферма, то решение уравнения деления круга на р частей сводится к решению квадратных уравнений.

Задача. Доказать обратное утверждение.

Замечание. Из теории геометрических построений (см. ниже гл. 4, п. 1) известно, что корень некоторого уравнения тогда и только тогда можно построить циркулем и линейкой, когда решение этого уравнения сводится к цепи квадратных уравнений. Следовательно, имеет место следующая теорема (впервые доказанная Гауссом).

Правильный р-угольник, где р некоторое простое число, тогда и только тогда можно построить циркулем и линейкой, когда число р является числом Ферма.

Числами Ферма являются, например, числа

3, 5, 17, 257, 65531. Существуют ли другие числа Ферма, до сих пор неизвестно.

3. Прием Гаусса

Если бы теоремой предыдущего пункта исчерпывалось все, что можно сказать о решении уравнений деления круга. Это совершенно не оправдывало бы труд, затраченный нами 6 п. 1 на изучение строения поля /?(С) и его подполей, ибо легко видеть, что решение любого уравнения с разрешимой Группой Галуа сводится к решению уравнений простых степеней (так как любая разрешимая группа обладает раз? рещимым рядом с факторами простых порядков).

в этом пункте мы дополним эту теорему принадлежащим Гауссу изящным приемом построения «разрешающих» уравнений простых степеней или, более общо, уравнений, определяющих произвольное подполе поля /?(С) над полями вида Re, где е - некоторый делитель числа е (не обязательно отличающийся от числа е лишь на один простой множитель).

Так как Re = R{it>, где

,,=r,w=c-bc,+ ... +Vi),.

то Re = Re (•»)), и наша задача сводится к тому, чтобы найти неприводимый над полем Re многочлен с корнем т; (т. е. минимальный многочлен числа т) над полем Re). С этой целью мы рассмотрим периоды

где h = ее. Поскольку, как легко видеть,

(условно считаем, что 7) = 7)0), элементарные симметрические функции от периодов (5) не меняются под воздействием

автоморфизма 5*, т. е. принадлежат полю Re. Другими словами, многочлен

fix) = {х- ri)(x - 7,,) ,..{х-

представляет собой многочлен над полем Re. Так как его степень равна h=T [Re: Re], то этот многочлен и является искомым минимальным многочленом числа т) над полем Re.

Коэффициент этого многочлена при х- лишь знаком Отличается от величины

+ \- + Ve + • • • + \н-Ц е 2-

Л-1 /-1 /-1 Л-1 /-1

= 2 2*е+/е = 2 2г(*+Л()= 2-ei

(где Г = ),

т. е. от /-членного гауссова периода V*=/Jfсоответг Ствующегр числу е. Остадьчце коэффициенты можО