вычислить на основе формул Вьета, опираясь на следующее утверждение, непосредственно вытекающее из того факта,

что периоды 7)о, т),.....7) , образуют базис поля над

полем R.

Произведение 7),7)у любых двух /-членных гауссовых периодов является целочисленной линейной комбинацией периодов •»)(,, 7),.....7), j.

Для практического нахождения этой линейной комбинации Гаусс предложил записывать произведение 7),7)у периодов

в следующем виде, собирая вместе произведения членов, «отстоящих друг от друга на одном расстоянии» (и считая при этом, что после последнего члена каждого периода снова следует его первый член):

-f-(V;+2*4-i + */+3*+ • • • +i + (/-2)/ + i + (/-l)«/+*)4-

~\~fJ+(f-2)e~l+eJ+<f-l)e~ ••• +•( + (/-2) •/+(/-4) «

+•i + (/-1) гун-(/-3) *) Н-••• -\-l + (f-\)eJ+(f-2)e)-

Легко видеть, что под воздействием автоморфизма 5 каждый член произведения 7j,7)y переходит в следующий

член той же скобки (считаем, что за по-

следним членом скобки следует ее первый член). С другой стороны, являясь произведением корней из единицы степени р, член i+/.i+if также представляет собой корень из единицы либо первообразный, либо равный единице. Таким образом, каждая скобка либо состоит из единиц (и потому равна /), либо представляет собой сумму первообразных корней из единицы степени р, последовательно переходящих друг в друга под воздействием автоморфизма 5, т. е. является

одним из периодов •»)(,, т),.....ir], j. Чтобы найти номер

этого периода, достаточно вычислить один член скобки (скажем, первый) и посмотреть, в какой период он входит.

Что же касается скобки, состоящей из единиц, то она равна

-/0-/1- ••• -/-1-Действительно, сумма •>lo + i9i+ • • • равна сумме

CoH-CiH- ... -h-p-a первообразных корней из единицы степени р и потому равна -1 (взятому с обратным знаком коэффициенту при х в уравнении деления круга).

Тем самым мы действительно представили произведение 1717 в виде линейной комбинации периодов •»)(,, 7)j....."Че-х-

4. Уравнение деления круга на 17 частей

Для иллюстрации изложенной выше общей теории рассмотрим случай р=17.

Для числа 17 за первообразный корень 5 можно принять, например, число 6. Тогда

Сос, С4=с<, Се =с«, !:,2=с".

ссг, Сб-с», Cio=!:5. !:,4=с«. С7=с» с„=с5, !:i5=!:3.

Поскольку р-1 = 16, за первое число е мы должны принять число 2. Соответствующие восьмичленные периоды имеют вид

7,(2)=!: +С2 -f-c-ce

,,(2) = +С>2 4- + С"+с» + С5 4- С"+С1

Скобки, на которые разбивается произведение rprif), начинаются соответственно с членов

=!: (из периода 7)f)), !:!:" = !:>2 (из периода 7)(2)),

!:!:12 = С" (из периода •»)(2)), СС* =Св " (из периода Tjf)).

СС =!:8 (из периода 7)(2)). !:С>< = !:» (из периода 7)J2)),

;:!:" = (из периода rf% СС = (из периода 7j(2)).

Следовательно, 7)(2)7)(2) = 41}(2)-f-47j2) е,

7,(2)7,2) = 4,

7,(2)4 71(2) = - 1.

Таким образом, период tjW (вместе с периодом т]) является корнем квадратного уравнения

xi-{-x - A = 0,

то есть

Далее, мы должны взять е = 4. Соответствующие четырехчленные периоды имеют вид

7,(4) = С + + -Ь С". 7)4) = + С8 +. + с»,

7)4) сб С + С" Н- riy = С>2 -Ь С" + -f СЗ.

Из них нам нужны лишь периоды т)*) и 7j) (так как е = 2). Согласно общей теории,

7,(1) + 74) = (2).

Что же касается произведения ч*Г1\ то скобки, на которые оно разбивается, начинаются соответственно с членов

СССЗ (из периода т))), !:С5 = !: (из периода т)")),

ССЗС» (из периода У]1у СС» (из периода -rf*)).

Таким образом,

7,(4)7,4) 4) 4) (4) + .(4) = J .

Следовательно, период т)(4) является корнем уравнения

д:2 -71(2)ДГ- 1 =0, то есть

Далее, мы д(Глжны взять е = 8. Соответствующие двучленные периоды имеют вид

7,(8)=;: 7,(8)=t;4 +c>3.

7,(8)=се +с", , rif)=j: +С1>.

7,8) = t;2 t;i5, .(8) = !;8 t;9

7,8)C12 + C5, 7,(8) = С"+ СЗ.

Из них нам нужны только периоды 7]<8) и т)№.