Таким образом, период 7,() является корнем уравнения ТО есть

7,(8)=-1- Л ±1. (3)

Наконец, поскольку

7,(8)=!:+с>6 !:!:i6=!:" = i,

то корень С (т. е., если хотите, одночленный период 7j(i6)) ввляется корнем уравнения

л:2 -7,(8)jc+-l =0.

то есть

г,(8>±/(У«0-4

Задача. Показать, что во всех формулах (1), (2), (3), (4) перед корнем следует брать знак плюс.

Согласно общей теории,

7j(8) -f- rif) =

Что же касается произведения тт, то, как и выше, находим, что

,8)(8) = 8) 4 (8) 4).

Согласно доказанному в п. 1. период выражается через период 7j(i). Чтобы найти это выражение, составим произведение ffTiK Имеем

TjWTjf = 7,(4) 4 + vj№ 4 vjW =

= (7,(4) + 7,(4) + 7)(4) 4- 7)4)) + (4) 7,4) 1 (4) ,4).

Следовательно,

Подставляя выражение (1) для 7,(2) в формулу (2), затем получившееся выражение для 7,(*) в формулу (3) и, наконец, получившееся выражение для 7,(8) в формулу (4), мы получим окончательное выражение для С, содержащее, кроме арифметических действий, лишь операцию извлечения квадратного корня. Впрочем, для геометрических надобностей достаточно знать число 7,(8) (представляющее собой, как легко видеть, удвоенную апофему правильного 17-угольника), так что последнюю подстановку (приводящую к мнимостям) можно и не делать. В результате мы получим (после некоторых упрощений) для апофемы 7,(8)/2 следующее выражение:

V«)

--16 •

Задача. Исследовать случай р= 13 (должны получиться два квадратных уравнения и одно уравнение третьей степени) и случай р=19 (одно квадратное уравнение и два уравнения третьей степени).

ГЛАВА 5

ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ 1. Основная теорема теории геометрических построений

Известно, что любая элементарно-геометрическая фигура определяется (с точностью до положения) длинами некоторых отрезков. Например, окружность определяется ее радиусом, угол - его линией косинуса (в круге единичного радиуса) и т. п. Следовательно, любая задача на построение сводится к задаче построения по некоторым числам (длинам данных отрезков) новых чисел (длин искомых отрезков). В связи с этим естественно возникает задача описания всех чисел, являющихся длинами отрезков, которые можно получить из данных отрезков геометрическими построениями с помощью тех или иных чертежных средств. Мы ограничимся здесь классической постановкой этой задачи, когда за основные чертежные средства принимаются циркуль переменного раствора и односторонняя линейка без делений.

Пусть 1, а, р, ... -длины данных отрезков (поскольку выбор единицы длины находится всецело в нашем распоряжении, мы можем считать, что один из данных отрезков имеет длину 1). Мы скажем, что положительное действительное число S может быть построено (исходя нз данных чисел 1, а, р, ...), если, отправляясь от отрезков длин 1,

а, р..... можно с помощью только циркуля и линейки

построить отрезок длины 5.

Замечание. Строго говоря, для придания этому определению точного смысла, нам. необходимо предварительно детально описать, что мы понимаем под выражением «построить отрезок с помощью циркуля и линейки». Мы этого делать не будем, поскольку, с одной стороны, такое описание можно найти в любом курсе теории геометрических