построений, а с другой стороны, оно нам, по существу, не нужно. Для наших целей вполне достаточно наивного «школьного» представления о значении этого выражения. Читатель, знакомый с современным, формальным, определением понятия «построить отрезок циркулем и линейкой», без труда сможет сам изложить все дальнейшее в том же формальном стиле.

Как известно, циркулем и линейкой можно, в частности, построить 1) сумму двух или нескольких отрезков, 2) разность двух отрезков, 3) отрезок четвертый пропорциональный к трем данным отрезкам (этот отрезок выражается формулой abjc, где а, Ь и с - данные отрезки), 4) отрезок средний пропорциональный к двум данным отрезкам (этот отрезок выражается формулой К*. где а и ft - данные отрезки). Отсюда вытекает, что следующие действия над числами можно осуществить с помощью циркуля и линейки:

1) действие сложения,

2) действие вычитания (для случая, когда уменьшаемое больше вычитаемого),

3) действие умножения (сводится к построению отрезка четвертого пропорционального к отрезкам а, b и 1),

4) действие деления (сводится к построению отрезка четвертого пропорционального к отрезкам а, 1 и с),

5) действие извлечения квадратного корня (арифметического) из положительного числа (сводится к построению отрезка среднего пропорционального к отрезкам а и 1).

Мы будем называть эти действия примитивными. Положительное число 5 мы будем называть примитивным, если

его можно получить из чисел 1, а, р.....применяя (любое

конечное число раз) примитивные действия. Оказывается, что примитивными действиями, по существу, исчерпываются все действия "над положительными числами, которые можно осуществить циркулем и линейкой. Именно, имеет место следующая основная теорема.

Число 5 тогда и только тогда можно построить {исходя из чисел 1, а. р, ,. ,), ко:да ато число примитивно.

Достаточность этого условия немедленно следует из всего сказанного выше. Поэтому мы должны доказать лишь го необходимость.

Для этого нам удобно несколько расширить список примитивных действий. Рассмотрим следующие действия (над не обязательно положительными числами):

1) сложение,

2) вычитание (производимое без всяких ограничений),

3) умножение,

4) деление,

5) извлечение квадратного корня (арифметического) из положительного числа.

Мы будем называть эти действия пифагоровыми (таким образом, пифагоровы действия отличаются от примитивных лишь тем, что вычитание производится без всяких ограничений).

Запас чисел, которые можно получить из чисел 1, а, р, .. . пифагоровыми действиями (будем впредь называть эти числа пифагоровыми), безусловно больше запаса чисел, которые можно получить из тех же чисел 1, а, р, ... примитивными действиями (т. е. запаса примитивных чисел). Например, все примитивные числа положительны (напомним, что исходные числа 1, а, р, . .. по условию положительны), тогда как среди пифагоровых чисел имеются и отрицательные. Однако оказывается, что

любое пифагорово положительное число примитивно,

так что в области положительных чисел пифагоровы действия не дают ничего нового (по сравнению с примитивными).

Для доказательства этого утверждения мы должны более внимательно исследовать строение пифагоровых чисел. Каждое пифагорово число f получается из исходных чисел 1, а, . . . в результате применения некоторого набора пифагоровых действий. Пусть п - наименьшее число пифагрровых действий, необходимых для получения числа f. Это число мы будем называть рангом пифагорова числа f. Ранг, равный нулю, имеют исходные числа 1, а, р. ... и только они. Число О имеет ранг, равный единице (ибо 0=1 - 1). Числа

- 1, -а, -р..... противоположные исходным числам 1,

а, р..... имеют ранг, не больший двух (ибо, например,

- 1=0-1=(1 -1)-1). Вообще, если число f имеет ранг п, то ранг числа - f не превосходит « + 2. Однако ранг числа -f может быть и меньше я+ 2. Например,

если пифагорово число у ранга п отрицательно, то ранг числа -f {т. е. числа ] f ) не превосходит п.

Мы докажем это утверждение индукцией по рангу п числа у. Если п = О, то число 7 не может быть отрицательным, так что .в этом случае рассматриваемое утверждение справедливо (потому что бессодержательно). Пусть оно уже доказано для всех чисел ранга, меньшего чем п. Любое число 7 ранга п выражается через некоторые числа 7, и 72 меньших рангов по одной из следующих формул:

а) Т = 7i Ч- 72.

б) T = 7i -Т2.

в) 7 = 7iT2. (1) r)7 = -f.

причем для отрицательного 7 случай д) невозможен, а в каждом из остальных четырех случаев числа 7, и 72 можно выбрать так, чтобы их ранги л, и были связаны с рангом п числа 7 соотношением

n = nj-4-rt2-(-1.

Задача. Докажите это утверждение.

Очевидно, что число - 7 = 17! выражается через числа 17i I ч 1721 "О тем ж формулам (однако, например, формула а) может перейти в формулу б) и наоборот). Следовательно, ранг т числа - 7 не превосходит числа т-- т-- 1, где wii, «2-ранги чисел 7,, 1721 соответственно. Заметим, что ранг т вполне может быть меньше суммы т-г т2-\- 1. Если число 7i положительно, то 7, = 7, , и потому = п,. Если же оно отрицательно, то, по предположению индукции, mirtj. Таким образом, во всех случаях /«!<«,. Аналогично т2<«2 ч потому m<;m,-f Л12+ 1 •<П1 + П2Ч" 1=«. Тем самым высказанное утверждение полностью доказано.

Докажем теперь сформулированное выше утверждение о примитивности положительных пифагоровых чисел. Для чисел нулевого ранга оно, очевидно, справедливо. Пусть это утверждение уже доказано для всех положительных пифагоровых чисел раша, меньшего чем п. Любое положи-