1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ 27

В частности, можно, говорить о произведении п равных между собой элементов, т. е. ввести понятие о степени а" элемента а с целым положительным показателем.

Элемент е, предусмотренный условием 2), называется единицей группы и иногда обозначается через 1. Легко видеть, что единица группы определена однозначно, т. е. если элементы е и е группы G обладают свойством 2), то е = е. Действительно, так как е обладает свойством 2), то ее = е. Аналогично, ее==е. Следовательно, е = е.

Элемент о", предусмотренный условием 3), называется обратным к элементу а. Легко видеть, что для любого элемента а обратный элемент а~ определен однозначно, т. е. если аЬ = е, то Ь = а~ (действительно, b = eb=s = fl~fl» = fl~e = fl~). Кроме того, для любого элемента о О и любого целого положительного п

(fl)-> = (fl-i)

(ибо (a")(fl-i)" = flfl ... flfl-i ... a-ifl-i -е).

Мы вводим степени элемента а с целыми отрицательными коэффициентами, полагая

д-" = (д")-! (т. е. д-" = (д-1)"). Кроме того, полагаем

а = е.

Легко проверяется, что все обычные правила действий со степенями одного элемента остаются справедливыми в любой группе.

Подчеркнем, что справедливость в группе закона коммутативности (ab - ba), вообще говоря, не предполагается. Группы, в которых операция удовлетворяет этому закону, называются коммутативными или абелевыми.

В абелевых группах правила действий над степенями сохраняются и для степеней нескольких элементов. В частности, для любых двух элементов а н b абелевой группы и любого целого п имеет место равенство

(аЬ)" = аЬ.

Если операция, заданная в группе, обозначена знаком т. е. если группа задана в аддитивной записи, то элемент в называется нулем и обозначается обычно символом О,

Аналогично элемент обозначается в этом случае через - а и называется противоположным элементом, а элемент а" обозначается через па и называется п-кратным элементу а. Как правило, аддитивная запись группы используется лишь для абелевых групп.

2. Порядки элементов

Пусть g - произвольный элемент группы О. Рассмотрим всевозможные его степени

... g-\ g-\ ge, gg, g\ ...

Если все эти степени различны, то элемент g называется элементом бесконечного порядка; в противном случае он называется элементом конечного порядка.

Пусть g - элемент конечного порядка, т. е. пусть gnt - giii для двух различных целых чисел п и «2- Без ограничения общности можно считать, что п > /I2, т. е. число JV = «i - «2 положительно. Так как g = g"(g")~, то gN = e. Таким образом, для любого элемента конечного порядка существуют такие положительные целые числа N, что g=:e. Наименьшее из этих чисел называется порядком элемента g.

Заметим, что порядок 1 имеет только единица е группы О.

Пусть п - порядок элемента g, и пусть а - произволь-ное (не обязательно положительное) целое число. Оказывается, что

порядок элемента g" равен ni=;n/d, где d - наиболь (иий (положительный) общий делитель чисел и ci, Действительно, во-первых,

igf-=ig"f = e.

где a = ald. Во-вторых, если {g")" - e, где m > О, то, разделив (с остатком) число am на п, т- е. нэйдя такие числа ? И г, что

am = nq-\-r и 0<]r</i

(легко видеть, что обладающие этими свойствами числа q и Г существуют и тогда, когда число aw, отрицательно), мы

2. ПОРЯДКИ ЭЛЕМЕНТОВ 29

получим, что

Отсюда, ввиду минимальности числа п, вытекает, что г -О и, значит, ат = пд. Сокращая это равенство на d, мы получим, что

Так как числа и л, взаимно просты, из.этого равенства следует (докажите!), что т делится на /ij, и потому не меньше чем Пу Таким образом, /ij является наименьшим положительным числом среди всех чисел т, для которых {g") = e, т. е. является порядком элемента g".

Из доказанного утверждения немедленно вытекает, что

1) если число а делит порядок п элемента g, то порядок элемента g" равен nja;

2) если числа а и п взаимно просты, то порядок элемента g" равен п;

3) порядок элемента g~ равен порядку элемента g;

4) если g" - e, то число а делится на п. Докажем, например, следствие 4). Равенство g" = e

означает, что порядок элемента g" равен единице. Поэтому по доказанной теореме число d равно п, т. е. а делится на п.

Задача. Докажите утверждения 1) - 4) непосредственно, т. е. не используя доказанную выше общую теорему.

Если элемент группы О имеет порядок п, а элемент g2 - порядок /12, то о порядке элемента 12 общем случае ничего сказать нельзя (элемент 12 может даже оказаться элементом бесконечного порядка). Однако,

если группа О абелева, а порядки п и п элементов gl и g2 взаимно просты, то порядок элемента gig. равен /i,/i2.

Действительно, во-первых,

а вотвторых, если (f ,2)" ~ - где m > О, то

f Г = gf "2"" = ia)"""= е.

й потому m/ij делится на Пу Следовательно, т делится на /ij (докажите!). Аналогично доказывается, чтр т делится