тельное пифагорово число f принадлежит к одному из пяти типов (1). Если оно принадлежит типу д), т. е. имеет

вид Yt\ . то число ll также положительно. Кроме того, его ранг равен п- 1, и потому, по предположению индукции, число ll примитивно. Следовательно, число f также примитивно. Если число Y принадлежит типу в), или типу г), т. е. имеет вид 7if2 или 71/72. то либо оба числа 71 и 72 положительны (и потому, по предположению индукции, примитивны), либо оба они отрицательны, и тогда 7 = (- 71) (- 72) (или соответственно 7 = - 7,/ - 72). Но, согласно доказанному выше утверждению, ранги чисел -7i = 7il и-72=1 T2I не превосходят соответственно рангов и «2 чисел 71 и 72. Следовательно, по предположению индукции, числа - 71 и - 72 примитивны. Таким образом, число 7 получается из, примитивных чисел действиями умножения или деления, и потому само является примитивным числом. Случай, когда число 7 принадлежит типу а) или типу б), рассматривается аналогично.

В силу доказанного предложения мы можем теперь сформулировать нашу основную теорему в следуюш,ем виде:

число I тогда и только тогда может быть построено, когда оно пифагорово.

Как уже упоминалось, достаточность условия этой теоремы очевидна (если, конечно, знать, что положительные пифагоровы числа совпадают с примитивными), так что мы должны доказать лишь его необходимость, т. е. должны доказать, что если число \ может быть построено, то оно пифагорово. •

С это*! целью мы выберем на рассматриваемой плоскости (в которой производятся все построения) некоторую декар-тову систему координат. Будем называть точку плоскости пифагоровой точкой, если обе ее координаты являются пифагоровыми числами. Данные отрезки (длин 1,а, ...) мы отложим на положительной оси абсцисс так, чтобы левым концом каждого отрезка служило начало координат, Тогда их правые концы будут являться пифагоровыми точками. С другой стороны, ясно, что если концы некоторого отрезка являются пифагоровыми точками, то его длина выражается пифагоровым числом. Кроме того, задача построения отрезка равносильна задаче построения его концов. Поэтому для

доказательства того, что если число 5 может быть построено, то оно пифагорово, достаточно доказать, что

каждая точка, получающаяся из пифагоровых точек геометрическими построениями с помощью циркуля и линейки, сама является пифагоровой точкой.

Оказывается, что аналогичное утверждение имеет место и для других элементарно-геометрических образов (прямых и окружностей). Назовем прямую или окружность пифагоровой, если все коэффициенты ее канонического уравнения (т. е. уравнения y = kx-\-b или х = а для прямой и уравнения (лг-af-\-(y - b) = r для окружности) являются пифагоровыми числами. Тогда имеет место следующее общее предложение:

каждая точка, прямая или окружность, получающаяся из пифагоровых точек в результате некоторого построения циркулем и линейкой, пифагорова.

На первый взгляд кажется, что это утверждение заведомо ложно (впрочем, строго говоря, это действительно так). Дело в том, что, как правило, любое построение содержит некоторый элемент произвола (например, берутся произвольные точки, проводятся окружности произвольного радиуса и т. li.), и, конечно, этот произвол может повлечь появление не пифагоровых образов. Однако мы можем ограничить этот произвол и выбирать «произвольные» образы лишь среди пифагоровых. При этом условии высказанное возражение автоматически отпадает.

Однако здесь появляется другая трудность. В некоторых построениях свобода в выборе «произвольных» образов часто ограничена дополнительными условиями (выбираемая точка должна лежать внутри некоторой фигуры, радиус окружности должен быть не меньше некоторого числа и т. п.) и а приори неясно, можно ли совместить эти условия с условием пифа-горовости. По этому поводу можно заметить следующее. Во-первых, в любом построении достаточно произвольно выбирать лишь точки (ибо выбор, например, произвольной прямой сводится к выбору двух любых ее точек). Во-вторых, любое условие на выбор точки, могущее возникнуть при элементарно-геометрическом построении, требует, чтобы точка либо принадлежала некоторой уже построенной фигуре, либо лежала вне некоторой другой такой фигуры, наконец, удовлетворяла обоим этим условиям. Поэтому, если мы

предположим, что наше утверждение справедливо для построений, не содержащих произвола, то в построении, содержащем произвол, нам придется выбирать точку на некоторой пифагоровой (т. е. состоящей из пифагоровых точек, прямых и окружностей) фигуре, возможно, вне некоторой другой (но также пифагоровой) фигуры. Однако, поскольку среди чисел 1,а, р, ... содержится число 1, среди пифагоровых чисел содержатся все рациональные числа, и потому пифагоровы точки расположены на плоскости «всюду плотно». Поэтому вне любой фигуры пифагорову точку найти всегда можно. Далее, легко видеть, что пересечение двух пифагоровых прямых или окружностей (пересекающихся в конечном числе точек) состоит из пифагоровых точек (ибо координаты этих точек получаются из коэффициентов пересекающихся прямых или окружностей в результате решения линейных или квадратных уравнений). Поэтому, для того чтобы найти на некоторой пифагоровой фигуре пифагорову точку, достаточно найти пифагорову прямую, имеющую с этой фигурой хотя бы одну общую точку. Ясно, что такая прямая всегда существует (даже в классе прямых с рациональными коэффициентами). Более того, таких прямых настолько много, что всегда можно найти прямую, пересекающую данную фигуру в точке, не лежащей на любой другой фигуре. Таким образом, при любом построении выбор «произвольных» точек всегда можно осуществить в классе пифагоровых точек.

Отсюда следует, что наше предложение можно доказывать лишь для построений, не содержащих произвола. Но любое такое построение сводится к ряду построений:

1) общих точек (если они существуют) двух уже построенных прямых или окружностей;

2) прямой, проходящей через две уже построенные точки;

3) окружности с центром в построенной точке и радиусом, равным расстоянию между двумя построенными точками.

Как мы уже видели, построения 1) пифагоровы образы переводят в пифагоровы. Аналогичным свойством обладают, очевидно, и построения 2) и 3) (ибо, например, коэффициенты уравнения прямой, проходящей через две точки, рационально выражаются через координаты этих точек). Слег довательно, при любом сколь угодно сложном построении }АЫ, исходя из пифагоровых трчек, будем получать ДИВДЬ