пифагоровы точки, прямые и окружности. Наше утверждение (а вместе с ним и основная теорема) полностью доказано.

Полученное необходимое и достаточное условие возможности построения отрезка имеет дело, по существу, лишь с положительными числами и потому плохо приспособлено для анализа средствами алгебры. Чтобы преодолеть этот недостаток, мы будем говорить, что действительное число 5 (положительное, отрицательное или равное нулю) может быть построено (исходя из положительных чисел 1,а, р, .,.), если оно либо равно нулю, либо число \\\ может быть построено в ранее определенном смысле. Оказывается, что при таком определении

основная теорема (в том виде, как она сформулирована на стр. 189) сохраняет силу и для любых действительных чисел \.

Действительно, при 5 = 0 это утверждение тривиально, при 5 > О оно совпадает с основной теоремой, а при $ < О непосредственно вытекает из этой теоремы в силу того, что число -? может быть построено (является пифагоровым числом) одновременно с числом

Эта формулировка основной теоремы с алгебраической точки зрения уже более удовлетворительна, однако она не включает комплексные числа. Имея в виду перенести ее и на этот случай, мы будем говорить, что комплексное число $ = ?i-j-/$2 может быть построено (исходя из чисел 1, а, р, ...), если могут быть построены (в смысле предыдущего определения) действительные числа и Ь. Ясно, что для действительных чисел это определение совпадает с предыдущим.

Далее, мы скажем, что комплексное число пифагорово (по отношению к числам 1,а, р, ...), если оно может быть получено из этих чисел с помощью четырех арифметических действий и операции извлечения квадратного корня. Здесь уже неясно, что для действительных чисел это определение совпадает с принятым ранее. Однако это так. Более того, имеет место следующее общее предлояение:

комплексное число ? = $i + /$2 иногда и только тогда является пифагоровым числом, когда пифагоровыми числами (в ранее принятом (;АЫсле) являющн дейспвител т? числа 5 и Ц.

Достаточность этого условия очевидна (ибо число i=Y-1 пифагорово). Что же касается необходимости, то она непосредственно вытекает из того факта, что извлечение квадратного корня из любых комплексных чисел сводится к арифметическим действиям и извлечению квадратных корней из положительных чисел (см. Курс, стр. 124-125).

Из этого предложения немедленно вытекает, что

основная теорема {как она сформулирована на стр. 189) имеет место и для комплексных чисел.

Для применения методов теории Галуа удобно сформулировать основную теорему в терминах теории полей.

Пусть Р - поле, порожденное над полем /? рациональных чисел числами а, р, ... Поскольку среди исходных чисел 1,а, р, ... содержится число 1, все элементы поля Р являются пифагоровыми числами.

Расширение К поля Р мы будем называть пифагоровым, если

A:=P(ai, aj.....а,),

где числа а,, Oj.....обладают тем свойством, что для

любого /=1,2, ...,s число Р/ = а принадлежит полю

P(ai.....а 1) (при /=1 полю Р).

Ясно, что

число 5 тогда и только тогда является пифагоровым числом, когда оно принадлежит некоторому пифагоро-вому расширению поля Р.

Таким образом, мы приходим к следующей формулировке основной теоремы, которую будем рассматривать как окончательную:

число 5 тогда и только тогда может быть по-строено (исходя из чисел 1,а, р, ...), когда оно содержится в некотором пифагоровом расширении поля Р== Р(а,р, ...).

Замечание. Основную теорему часто формулируют В следующем виде:

число ? тогда И только тогда может быть пот строено (исходя из чисел 1, а, р, ...), когда решение неприводимого уравнения (над полем Р = Р(а, р, ...)) с корнем \ сводцщся к решению цепи квадратных уравнений, т. е., как говорят, число i выражается в ква()> ратны)с радикалах (через элементы поля Р),

Очевидно, что эта формулировка равносильна нашей.

Доказанная основная теорема хотя и чрезвычайно интересна с теоретической точки зрения, может приобрести практический интерес лишь после того, как будут найдены достаточно простые признаки пифагоровости расширений. Один такой признак, вполне исчерпывающий с практической точки зрения проблему, мы докажем в п. 3. Предварительно в п. 2 мы изложим необходимые для этого сведения из общей теории групп.

2. Прнмарные группы

Пусть О - произвольная группа. Ее элемент г называется центральным, если он перестановочен с любым элементом группы О, т. е. если для любого элемента gO имеет место равенство

gz = zg.

В абелевых группах (и только в них) все элементы центральны. В произвольной группе единица е всегда центральна.

Совокупность Z всех центральных элементов группы О называется ее центром. Легко видеть, что центр любой группы является ее (очевидно, абелевым) нормальным делителем (возможно состоящим лишь из единицы е). Действительно, во-первых, он непуст (содержит единицу е), во-вторых, является подгруппой (если zZ и zZ, то для любого элемента gO имеет место равенство (zz-jg =

= = {4s)z,={g-%y\=iz2g-)-\g{4\)=

= gzzy т. е. гг,гг2), в-третьих, для любого элемента gO из включения zZ вытекает включение gzg~Z (ибо gzg- = zgg- = z).

Элемент g группы О называется сопряженным элементу g, если существует такой элемент АО, что g = h~gh. Совокупность всех элементов группы О, сопряженных некоторому элементу gO, называется классом сопряженных элементов (определенным элементом g) и обозначается символом [g].

Каждый класс \g] содержит элемент g (ибо g = e~ge), любой элемент } Hacc? \§\ определяет тот же кдас?, т- е,