можно без потери общности считать, что a2Z, ,. Таким

образом, К = Р{а.х.....а„), причем для любого 1=1.....п

число а] принадлежит полю Р(а,.....а ,) (при /=1

полю Р). Другими словами, расширение К пифагорово.

Из доказанного предложения немедленно вытекает, что

любое нормальное подполе нормального пифагорова расширения само является пифагоровым расширением.

Действительно, его степень является степенью двойки.

Далее, оказывается, что

любое пифагорово расширение К содержится в некотором нормальном пифагоровом расширении К-

Действительно, пусть \К\ Р\ = 2". Проведем индукцию по числу п. Если п = 0, то КР, и теорему, очевидно, справедлива (за поле К можно принять само поле К = Р). Пусть теорема уже доказана для полей степени 2"". По определению, любое пифагорово расширение К степени 2" имеет вид L(a), где L-пифагорово расширение степени 2"", а а -такое число, что a?L. По предположению индукции, поле L содержится в некотором нормальном пифагоровом расширении L. Рассмотрим минимальный многочлен /(jc) числа над полем Р. Поскольку aLczL и поскольку поле L нормально, многочлен f (х) разлагается над полем L на линейные множители:

f(x) = ix-0(x-y...(x-K).

где р, = а2, р2. •••.Jm€- Пусть g{x) = fix) (так что g-(a)==0), и пусть К - поле разложения многочлена g(x) над полем L (так что а/С). Согласно лемме, доказанной на стр. 83, поле К является нормальным расширением поля Р.

Кроме того, так как аК и LcZcK, то К = L(a)czK. Наконец, очевидно, что

где Ifl.....-такие числа, что Т? = Р/ ....."

Поскольку fi, и потому fif,..... поле К

является пифагоровым расширением поля L, а значит, и поля Р (ибо пифагорово расширение пифагорова расширения

само, очевидно, является пифагоровым расширением основного поля). Тем самым теорема полностью доказана.

Полученные результаты о пифагоровых расширениях позволяют доказать следующий, очень удобный на практике критерий пифагоровости числа:

корень Ч, неприводимого {над полем Р) многочлена f {х) тогда и только тогда является пифагоровым числом {т. е. может быть построен циркулем и линейкой), когда степень поля расширения многочлена f{x) является степенью двойки.

Действительно, если число % пифагорово, то оно содержится в некотором пифагоровом расширении К поля Р и потому в некотором нормальном пифагоровом расширении К. Поскольку поле разложения многочлена fix) нормально, отсюда вытекает, что оно содержится в поле К, и потому его степень является степенью двойки.

Обратно, если степень поля разложения многочлена f {х) является степенью двойки, то оно пифагорово (потому что нормально), так что число % содержится в пифагоровом расширении поля Р и потому является пифагоровым числом.

Отметим в заключение следующий простой необходимый (но не достаточный!) признак пифагоровости, немедленно вытекающий из доказанной теоремы:

если число Ч, пифагорово, то его степень над полем Р {т. е. степень его минимального многочлена f{x)) является степенью двойки.

Действительно, степень любого алгебраического числа делит степень поля разложения его минимального многочлена.

4. Некоторые конкретные задачи на построение

Применим полученные общие результаты к некоторым классическим задачам на построение.

Задача об удвоении куба формулируется следующим образом: построить куб (т. е. его сторону), объем которого вдвое больше объема данного куба. В этом случае нам задан только один отрезок (сторона данного куба). Принимая его за единичный, мы получаем, во-первых, что основным полем Р является поле R рациональных чисел, а во-вторых, что искомая сторона 5 удвоенного куба удовлетворяет

200 гл. 5. построения циркулем и ЛЙНЕЙКОЙ

уравнению

дз 2 = 0.

Поскольку это уравнение неприводимо над полем Р (так как оно не имеет рациональных корней), степень числа $ равна трем. Поэтому это число не пифагорово, т. е. не может быть построено циркулем и линейкой. Таким образом, удвоение куба с помощью циркуля и линейки невыполнимо.

Задача о трисекции угла формулируется следующим образом: разделить данный угол <р на три равные части. В этой задаче даны два отрезка (например, гипотенуза и прилежащий катет прямоугольного треугольника с углом <р). Принимая гипотенузу за единичный отрезок, мы получаем, что основным полем Р является в этом случае поле Р(а), где a = cos<p. За искомый отрезок мы примем линию косинуса угла . Таким образом, задача сводится к построению числа $ = cos--. Поскольку 4cos3- - 3 cos= cos <р, это число удовлетворяет уравнению

4д:3 -Зд: -а = 0.

Если это уравнение неприводимо над полем Р(а), то число \ имеет степень 3 и потому не пифагорово, т. е. его построение невозможно. Так будет, например, при <р = 60°, когда

а=у. Действительно, уравнение

8x3 -бд: -1=0

неприводимо над полем R = R (в противном случае оно

обладало бы рациональным корнем, что, как легко видеть, невозможно). Таким образом, не существует никакого построения, осуществляющего деление угла в 60° на три равные части (т. е. построение угла в 20°). Тем более не существует никакого единого построения, осуществляющего деление на три равные части произвольного угла.

Это не мещает, конечно, существованию специальных построений для некоторых отдельных углов (для которых многочлен 4д:3 - Зд: - а приводим). Так. например, при

а = 0 (т. е. при <р = 90°) или при а =--(т. е, при