Ре- А В - С В С -А

cos-g- cos -2- "2" -2-

„ . А . В 2р Sin -g- sin -у

cos Y cos-2-

Следовательно,

. В В С -Л , С С А -В

sin Y cos Y cos-2- Y cos -y cos -2-

"аГ~;д A B - c • 17~~B в с -A

Sin-y cos у cos-g- - -

sm-pr- COS -pr- cos-

Эти равенства представляют собой два уравнения, из которых и следует найти неизвестные углы Л, В и С (двух уравнений достаточно, так как среди углов треугольника только два независимых).

Предположим для упрощения выкладок, что Pj = Pg. Тогда из второго уравнения легко выводится (сделайте это1), что В = С, т. е. искомый треугольник равнобедренный. Но для равнобедренного треугольника Л-)-2В = и и потому

А А Q j4 зв

sin -у = cos В, cos -у = sin В, cos -2- ~ ~2

Кроме того,

В -С ,

cos--= 1.

<р=135°) этот многочлен приводим (над полями Яи/?(/2)

1/"3

соответственно). В первом случае он имеет корень =cos 30°, V2

а во втором - корень = cos 45°.

Задача о трех биссектрисах -формулируется следующим образом: построить треугольник, если даны его три биссектрисы. Пусть А, В, С - углы искомого треугольника, а Рд, Pft, р -данные биссектрисы. Очевидно, что достаточно построить углы i4, S и С. Из элементарной геометрии известно, что биссектрисы треугольника следующим образом выражаются через его углы и периметр 2р:

НС с 3

2р sin Y sin -2 2/) sin sin у

Поэтому первое уравнение приобретает следующий вид:

. гв

2 COS в = *

S 35

где k = j. Выражая по известным формулам sin -у и

cos В через sin , мы получим отсюда, что величина sin -g-является корнем уравнения

4x3 4/г;с2 Зл: + 2/г = 0.

Поскольку существуют значения А, для которых это уравнение неприводимо (например, в силу критерия Эйзенштейна оно неприводимо при /г = 3), построение треугольника по трем биссектрисам циркулем и линейкой невозможно (даже при дополнительном предположении р = р).

Задач-а о построении п р а в и л ь н о г о «-у г о л ь-н и к а сводится к построению первообразного корня из единицы степени п. Поскольку в этой задаче задается лишь один отрезок (например, радиус описанного круга), основным полем является поле R рациональных чисел.

Заметим в первую очередь, что многочлен f„{x) деления круга на я частей (т. е. многочлен, корнями которого являются все первообразные корни из единицы степени п и только эти корни) мы можем найти, отыскивая наибольшие общие делители многочленов х"-1 и х""-1, где m пробегает все собственные (т. е. отличные от я) делители числа га, и освобождая от них многочлен л;"-1. Действительно, корень степени га из единицы тогда и только тогда является первообразным корнем, когда он не служит корнем ни одного многочлена х""-1.

Отсюда немедленно вытекает, что

для любого п многочлен деления круга на я частей является многочленом над полем R {т. е. имеет рациональные коэффициенты).

Степень этого многочлена равна числу всех первообразных корней из единицы степени га, т. е. равна числу (р(га) чисел меньших я и взаимно простых с я.

Как мы знаем, если число га простое, то многочлен /„(л:) неприводим (см. гл. 2, п. 1). Оказывается, что это верно

И для любого п. Однако, поскольку доказательство этого факта в общем виде довольно сложно, мы его доказывать не будем, а ограничимся доказательством следующего более частного утверждения:

для любого примарного (т. е. имеющего вид р", где р- простое число) числа п многочлен деления круга на п частей неприводим {над полем R).

Действительно, так как все делители числа р" имеют

вид р" и так как при с <.Ь многочлен х - 1 делится на многочлен х"- 1, то

Применяя метод доказательства «от противного», мы предположим, что этот многочлен приводим. Тогда его можно представить в виде произведения g{x)h{x) двух многочленов меньших степеней с целыми коэффициентами (см. Курс, стр. 352). Так как

(1)й(1) = /рЛ1) = Р.

то одно из (целых) чисел (1) и h{\) равно ±1, а другое равно +/?. Пусть для определенности (1)=±1.

Рассмотрим произвольный первообразный корень С степени p из единицы, ЯВЛЯЮЩИЙСЯ корнем многочлена (д;). Поскольку все первообразные корни из единицы являются степенями, любого из них, для каждого первообразного корня С существует такое число т (взаимно простое с р", т. е. не делящееся на />), что С = (С)"- Следовательно, число I! является корнем многочлена g{x"). Отсюда вытекает, что все первообразные корни из единицы степени р° являются корнями многочлена F {х), представляющего собой произведение всевозможных многочленов вида (л;"). Поэтому многочлен F{x) делится на многочлен fра{х), т. е.

F{X) = fpa{x)<f{x),

где ср(д;) - некоторый многочлен с целыми (почему?) коэффициентами. Следовательно,

F{\) = fpa{\)<f{),