т. е. число F{1) делится на число fa{l) = P- Но это невозможно, так как очевидно, что F{1)=+ 1. Полученное противоречие доказывает, что многочлен fра{х) неприводим.

Замечание. Неприводимость многочлена f{х) можно также легко доказать, производя замену х = у-\- 1 и используя критерий Эйзенштейна.

Таким образом, первообразные корни из единицы степени р" являются корнями неприводимого многочлена степени <f {р") = р"~{р-1). Следовательно,

если построение правильного р"-угольника, где р-про-стое число, а а>-1, циркулем и линейкой возможно, то число p-ip - 1) должно быть степенью двойки, т. е. либо р = 2, либо о = 1 и число р является простым числом Ферма.

Так как любой правильный г-угольник, очевидно, можно построить циркулем и линейкой, то, вспоминая результаты гл. 3, мы получаем отсюда, что

построение правильного р"-угольника циркулем и линейкой возможно тогда и только тогда, когда либо р - 2, либо а = 1 и число р является простым числом Ферма.

Заметим теперь, что

если числа п и п взаимно просты, то построение правильного пп-угольника возможно тогда и только тогда, когда возможно построение правильного п-уголь-ника и правильного п-угольника.

Действительно, построение правильного га-угольника равносильно построению угла 2и/га. Но если мы можем построить угол а == 2«/raira2, то мы можем построить как угол па = 2«/га,, так и угол пч = i-KJn. Обратно, если мы можем построить углы а, = 2«/я, и = 2u/ra2. то мы можем построить любой угол вида waj-j-oaj, где и и v - произвольные целые числа. Принимая за и и г» решения уравнения nxU-\-n2V=\ (эти решения существуют в силу взаимной простоты чисел га, и п; см. лемму на стр. 70-71), мы видим, что угол иа.1-\-уЦ==

= 2я(---) = 2«/raira2 мы также можем построить.

Отсюда и из только что доказанной теоремы вытекает следующий окончательный результат:

построение правильного п-угольника циркулем и линейкой возможно тогда и только тогда, когда число п

имеет вид

"PlPl Ps.

где pi, Р2.....Ps-различные числа Ферма.

Задача о квадратуре круга формулируется следующим образом: построить квадрат равновеликий данному кругу. Поскольку в задаче задан только один отрезок (радиус круга), основным полем является поле R рациональных чисел. Принимая радиус данного круга за единицу, мы видим, что задача сводится к построению отрезка Уп, т. е. к построению отрезка w. Мы докажем, что это невозможно, т. е. что квадратуру круга невозможно осуществить цирку-лем и линейкой. Другими словами, мы докажем, что число « не пифагорово. На самом деле, мы докажем даже большее, а именно что

число я не является корнем никакого многочлена с рациональными коэффициентами,

Т. е. не является алгебраическим над полем R числом. (Такие числа называются трансцендентными.)

Пусть

g{x) = CQ+CiX- ... Н-СлгхЛ

- произвольный многочлен. Положим

0{x) = g{x) + g{x) + {x)+ ... +g{x).

Оказывается, что

существуют такие функции

Яо = Яо{х), qi = qi{x).....(}n = Qnx)

переменного х, не зависящие от многочлена g(x), что для любого x имеет место соотношение

O(0)e = O(x)--Q(x). (1)

Q(X) = 2 СгЧгХ = W + ... + CinX-. причем

\Чг{х)\<е\\

для всех x и всех /- = 0, 1.....N.

Ясно, что соотношение (1) линейно относительно многочлена g (х), т. е. если оно справедливо для многочленов gj (х) И gi(x), ТО оно справедливо и для любого многочлена вида

\gi(x)-\-a2g2(x)- Поэтому его достаточно доказать лишь для многочлена вида дг. Но в этом случае оно принимает вид

г1в- = (д: + гд:- + г(г -1)д:-2+ ... г[)-{-qx+\ т. е. вид

„ j.r-2 „г-1 уГ уГ+1

Поскольку, как известно из элементарного курса анализа,

• 4-4)=(7TT)! + (Sl+ •••• за функцию qix) мы должны принять функцию

Так как

то ряд в правой части этой формулы абсолютно сходится для всех X и определяет функцию, модуль которой не больше

чем el-1. Поэтому д, (х) К-ггг • самым соотношение (1) полностью доказано. Пусть теперь

- произвольный многочлен степени п с целыми коэффициентами и свободным членом uq, отличным от нуля. Рассмотрим многочлен

gWanp-jffix),

где р - некоторое простое число, и соответствующий многочлен

0(x) = g(x)-\-g{x)-\- ... где N=np-\- р~\ - степень многочлена g {х).