(Г)(0)=:

еслиг>р -1,

то есть

О(0) = а?а;;- + р*1 + р(р--1)*2+ ... +

+ р(р+1) ... {пр-р-1)Ь„р.

Следователь-но,

число 0(0) целое; если число р не делит коэффициенты Uq и fl„ {например, если р> flj и р> а„), то число 0(0) не делится на р.

Рассмотрим теперь произвольный корень а многочлена / (л:). Используя тождественное соотношение л: = (л: - а)4-а, мы можем многочлен g{x) записать в следующем виде:

Р„( а)Р + р,(л: а) + 14- ...

g{x) = --j::-,

где ..... Рлр-1 - некоторые многочлены от а степеней,

не больших чем npl с целыми коэффициентами, делящимися на аР-. Отсюда вытекает, что

если г <. р, если г>р,

V - )

ТО есть

0{а.) = р%+р{р+Щ1+ ... +

+ р(р+1) ... (яр + р 1)р„р ,.

Следовательно,

число О (а) является многочленом от а степени, не большей чем пр - 1с целыми коэффициентами; все коэффициенты этого многочлена делятся на число ра~.

Многочлен g(x) мы можем записать в следующем виде:

gix) =-(p-l), -•

где Z>o, bl.....Z>p -целые числа, причем bQ = aan~. Таким образом, в рассматриваемом случае с = 0, если

/8 < р- 1, и = , еслакр- 1. Отсюда вытекает,

О , если г < р- 1,

208 гл. 5, ПОСТРбЕМИя ЦИРКУЛЕМ и ЛИНЕЙКОЙ

Пусть теперь

"2.....S

- все корни многочлена /(л;). Так как афО, то они все ОТЛИЧНЫ от нуля. Рассмотрим число

Л = 0(а,)-Ь0(а2)+ ... -ЬО(а„).

Это число является симметрическим многочленом от а,.....а,

общей степени, не большей чем пр - 1, с целыми коэффициентами, делящимися на pafP-. Следовательно (см. Курс, стр. 328), оно является многочленом общей степени, не боль-щей чем пр-1, с целыми коэффициентами, делящимися на раР~, от элементарных симметрических функций корней а,, а„, т. е. от приведенных коэффициентов

-, -, .... многочлена f(x). Значит, это число

а„ а„ а„

является многочленом с целыми коэффициентами, делящимися на р, от целых чисел а, о,.....Лл-]- Поэтому

число А является целым числом, делящимся на р.

Рассмотрим далее функцию Q{x), соответствующую многочлену (л:) (см. выше соотношение (1)). Пусть Ж -наибольшее значение абсолютных величин коэффициентов многочлена f(x). Ясно, что абсолютные величины коэффициентов многочлена fix) не превосходят числа («+1)Л1 (каждый коэффициент является суммой не более чем (я-f-l) произведений р коэффициентов многочлена f{x)). Следовательно, абсолютные величины коэффициентов с, многочлена g{x) не

превосходят числа • Поэтому, если д: > 1, то

IQ()I<E ii • ll • lr<"(t-if 41 X

\x\-l (p-l)\ 11 -(p-l)!

где K= llli и Z, = (rt+l)Mx"+\ Аналогично, если

\X\ < 1, TO

где К =

1-1л;

и /. = (я + 1)M. Наконец, если л: -= 1, то

где Л: = (я-Ь1)е-" и /. = (я+1)Л1. Как известно из курса анализа,

77-ТЙ-= =0.

Следовательно,

для любого е>0 а любого х существует такое число Р{г, х), что

\Q{x)\ <е при р>Р{г. х). В частности,

существует такое число Р, что для любого /= 1, .... п

Q(a/)l<T при р>Р.

Следовательно,

Q(ai) + lQ(a2)+ ... -1-10ЮК1 при р>Р. Рассмотрим теперь число

В = / + е»2-- ... +А.

Подставляя в соотношение (1) вместо х числа а, а„ и складывая получившиеся равенства, мы получим, что

О(0)В = Л + Т. где 7 = Q(ai)-f- ... +Q(a„). Другими словами, 7 = 0(0) В- А.

Предположим, что число В целое, и выберем простое число р (которое пока было вполне произвольным) большим каждого из чисел flo. «л1 11 " Р- Тогда целое число О (0) В не будет делиться на р и потому не будет равно числу А (которое, как мы знаем, на р делится). Следовательно, целое число О (0) В - А будет отлично от нуля. Но это невозможно, так как оно равно числу f, абсолютная

I-Ид: