Обозначая отличные от нуля показатели р, p-j-p, ...

... через а,, .....а„, мы можем пере-

писать это равенство в следующем виде:

Л + ЛН- ... Н-А = В,

где В - некоторое целое число. Таким образом, для того чтобы прийти к противоречию с доказанной выше теоремой, достаточно показать, что все числа а,, а, .... а„ являются корнями некоторого многочлена с целыми коэффициентами, не имеющего никаких других корней, т. е. что любое число, сопряженное с одним из чисел а,, .....а„ также содержится среди этих чисел. Но это почти очевидно. Действительно, пусть а - любое из чисел а,,-..., а„. По условию оно является суммой k чисел вида j, р. Рассмотрим все числа fi = a, .....которые можно представить

величина (т( которого при р>Р меньше единицы (ибо llf I < Q(ai) I + ... H-Q(a„)). Полученное противоречие доказывает следующую теорему.

Если отличные от нуля числа а,.....а„ являются

корнями уравнения

с целыми коэффициентами, то число

... +А

не может быть целым.

Из этой теоремы трансцендентность числа л следует уже весьма просто. Предположим, что число и алгебраично. Тогда число л/ также алгебраично. Пусть

Pl = < 2.....

-все числа, сопряженные с числом тсЛ Так как е = - 1, то произведение

(Л+1)(Л+1)...(Л+1)

равно нулю. Следовательно, раскрывая скобки, мы получим, что

. г ...

й к, I

В виде суммы /% чисел вида Pi.....Ясно, что многочлен

имеет рациональные коэффициенты (ибо эти коэффициенты

ЯВЛЯЮТСЯ симметрическими многочленами от чисел pj.....р).

Поскольку среди корней многочлена f(х) содержится число fi = a, любое число, ему сопряженное, также должно быть корнем этого многочлена, т. е. должно быть суммой k чисел вида j, .... р, и потому оно должно совпадать с одним из чисел а,, .... а„.

Тем самым трансцендентность числа п полностью доказана.

Аналогичным методом может быть доказано следующее общее утверждение:

числа б и sin 6 тогда и только тогда одновременно являются алгебраическими числами, когда 6 = 0.

Доказательство этого утверждения мы опустим.

Задача о луночках Гиппократа формулируется следующим образом: найти все луночки, т. е. фигуры, ограниченные двумя дугами окружностей, которые можно построить циркулем и линейкой и для которых можно построить (также циркулем и линейкой) равновеликий квадрат (такие луночки называются квадрируемими). Каждая луночка задается длиной общей хорды, стягивающей дуги, ограничивающие луночку, и центральными углами 2а и 2, измеряющими эти дуги (считаем для определенности, что а > р). Мы будем рассматривать лишь луночки, для которых углы аир соизмеримы, т. е. для которых существует такой угол 6, что a = ffte и р = ле, гяе т п п взаимно простые целые (положительные) числа (причем т> п). В этом предположении построение луночки сводится к построению угла 6.

Рассмотрим некоторую квадрируемую луночку с углами аир. Без ограничения общности мы можем считать, что длина общей хорды, стягивающей дуги, ограничивающие луночку, равна единице. Тогда нетрудно видеть, что площадь s луночки выражается формулой

с Л: Р I ctgp ctgg

sina sinp "t" 4 4 •

если дуги, ограничивающие луночку, расположены по одну сторону от хорды (вогнуто-выпуклая луночка), и формулой

m sin2 п9 + п sin me

Для квадрируемой луночки это число алгебраично. Таким образом, оба числа 6 и sin 9 одновременно алгебраичны, что, как мы знаем, возможно лишь при 6 = 0. Следовательно, квадрируемых выпуклых луночек не существует. Аналогичное ргссуждение показывает, что квадрируемая вогнуто-выпуклая луночка, определяемая углами а = /и9 и р = ле, может существовать лишь тогда, когда

п sin2 тЬ - т sin2 л9 = 0. (2)

Таким образом,

задача построения квадрируемых луночек (с соизмеримыми углами аир) сводится к задаче пострдения угла 6, удовлетворяющего уравнению (2).

Заменив в уравнении (2) величины sin m9 и sin лб их выражениями через cos 9, мы получим для cos 9 некоторое алгебраическое уравнение, которое мы и должны исследовать. Луночка с углами /и9 и л9 тогда и только тогда может быть построена циркулем и линейкой, когда это уравнение обладает действительным решением, абсолютная величина которого не превосходит единицы и вычисление которого сводится к решению цепи квадратных уравнений.

Впрочем, с вычислительной точки зрения удобнее рассматривать не число cos9, а число = cos29 +/sin29, Это изменение, конечно, никакого принципиального значения не имеет (ибо число S может быть построено тогда и только тогда, когда может быть построено число cos 9). Поскольку

s\nkb = -, k - m, л.

уравнение для величины ? имеет вид

nix"-lf-mx"-4x"-lf = 0, (3)

в противном случае (выпуклая луночка). Рассмотрим сначала второй случай. Так как по условию а = «6 и р = ле. то из формулы (1) вытекает, что

(s-il-.£)sin»m9sin»ne