Таким образом, мы пришли к следующей чисто алгебраической задаче:

при каких взаимно простых целых положительных числах тип {удовлетворяющих условию т" п) решение уравнения (3) сводится к решению кЪадратных уравнений!

Найдя все уравнения (3), сводящиеся к квадратным уравнениям, мы затем уже легко отберем среди иих уравнения, которым соответствуют «действительные» луночки, т. е. уравнения, обладающие корнем модуль которого равен единице.

Можно доказать, что

если число т составное, то, за исключением случая т = 9, л=1, решение уравнения (3) нельзя свести к решению квадратных уравнений.

Доказательство этого утверждения выходит за рамки этой книги, и мы его опустим.

Пусть теперь число т простое. Оказывается, что

если решение уравнения (3) при простом т = р сводится к решению квадратных уравнений, то число р либо равно двум, либо является простым числом Ферма.

Для доказательства мы произведем в уравнении (3) замену х = у-\-1. В результате мы получим уравнение

»((у+у(U±f),

Т. е. уравнение

-р(У+1Г"(/-ЧСу"-Ч ... +СП = 0. (4) Раскрыв скобки, мы получим уравнение вида

где aj.....hp-i - некоторые целые числа.

Заметим теперь, что

если кфО, р, то биноминальный коэффициент Ср делится на р. Действительно,

Ср--1.2 ... k

и простое число р в числителе не может сократиться (ибо все множители знаменателя меньше р).

Отсюда вытекает, что уравнение (4) мы можем переписать в следующем виде:

п{уР- + pf,{y)f + ph{y) = 0,

где /i(y) и /г (у) - некоторые многочлены с целыми коэффициентами, а следовательно, и в следующем виде:

л/(Р-1) + р/(у) = 0. (5)

где /(у) - некоторый многочлен с целыми коэффициентами. Это означает, что в уравнении (5) все коэффициенты а,.....<hp-2 делятся на р. Поскольку старший коэффициент л на р не делится, а свободный член а2р 2 (равный, очевидно, лр2 - рп = рп(п - р)) не делится на р, уравнение (5) удовлетворяет условиям критерия Эйзенштейна и потому неприводимо (над полем R). Следовательно, его решение может сводиться к решению квадратных уравнений только тогда, когда его степень 2(р - 1) является степенью двойки, т. е. когда число р либо равно двум, либо является простым числом Ферма. Теорема доказана.

Оказывается, что утверждаемое этой теоремой необходимое условие достаточным не является. Именно можно показать, что

если р > 5, то решение уравнения (3) {при т = р) нельзя свести к решению квадратных уравнений.

Доказательство этого утверждения мы также опустим.

Таким образом, нам остается разобрать лишь случаи /и = 2, т = Ъ и т = 5, а также случай т = 9 и л=1.

Пусть т = 2. Тогда л= 1, и уравнение (3) (после сокращения на (X-1)2) приобретает вид

лг2+1 =0.

Следовательно, в этом случае 29 = 90°, и мы получаем, что луночка с углами 2а =180° и 2 = 90° квадрируема. Это - известная луночка Гиппократа. Пусть теперь т = Ъ. Тогда л = 1 или л = 2. В первом

случае уравнение (3) (после сокращения на (л; - 1)2) имеет вид

(лг2+;г -f 1)2-Зд;2 = 0.

V3 - 1

Следовательно, cos 29 = --2-• откуда 2968°, 5. Таким

образом,

13"- 1 соо с о /31

луночка с углами arccos--Ь» ,5 и oarccos-g-

!5а205°,6 квадрируема.

При л = 2 мы получаем уравнение

2(лг2 + лг+ 1)2 -Злг(лгН-1)2 = 0.

Полагая х = у2, мы получим уравнение, разлагающееся в поле /?()2, Уъ) на два возвратных уравнения четвертой степени, и потому сводящееся к квадратным уравнениям.

т/ЗЗ" I

Производя вычисления, мы получим, что cos 29 =--,

т. е. что 29?ti53°,6. Таким образом,

ТЗЗ - 1

луночка с углами 2 arccos-g-?til07°,2 и

Узз" 1

3 arccos --g-« 160°,9 квадрируема.

Эти две луночки также были построены Гиппократом. Пусть, наконец, /и = 5. Тогда л=1, 2, 3 или 4. При л = 1 мы получаем уравнение

• (л:> + лгЗ + лг2-1-х+1)2 -5*4 = 0,

которое распадается на два возвратных уравнения четвертой степени

х*-\-х-{1 ± /5)лг2--лг-Ь1=0 и потому сводится к квадратным уравнениям. В этом случае cos29= V5 +45 - 1 откуда 29;4б°,9. Таким образом,

луночка с углами arccos ~4б°,9 ц

5 awos V5 + 1 234°,4 квадрируема,

Оно имеет два действительных корня (нам не интересных) и комплексные корни