3. ПОДГРУППЫ, НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ и ФАКТОРГРУППЫ 33

Очевидно, что если подгруппа является нормальным делителем группы О, то она будет нормальным делителем и в любой содержащей подгруппу N подгруппе ИсО. Следует иметь в виду, что обратное, вообще говоря, неверно: если

NczHcO

и N есть нормальный делитель в Н, то N может и не быть нормальным делителем в О.

Задача. Доказать, что пересечение N С\ нормального делителя N и произвольной подгруппы Н является нормальным делителем в И.

Тривиальные подгруппы (т. е. О и в) являются, очевидно, нормальными делителями. Группа, не имеющая никаких других нормальных делителей, называется простой.

Пусть Н - произвольный нормальный делитель группы О и пусть Hgy Hg2 - некоторые смежные классы по нормальному делителю Н. Произвольно выбрав в классе Hgi некоторый элемент hgx, а в классе Hg2 - элемент h2g2, рассмотрим произведение [[Лгг их элементов. Так как

h:gih2g2 = hi{gih2gr)g:g2

и, по условию, gih2giH, а значит, и hi{gih2gi)H, то это произведение лежит в смежном классе Hgig2 и следовательно, его смежный класс совпадает с классом Iigig2. Таким образом, при любом выборе элементов из данных смежных классов смежный класс их произведения получается один и тот же. Этот однозначно определенный смежный класс называется произведением смежных классов Hg и Hg2 и обозначается через Hgi-Hg2. По доказанному

Hgvig2 = f1giS2-

Тем самым мы определили во множестве всех смежных классов по нормальному делителю Н некоторую алгебраическую операцию. Легко проверить, что относительно этой операции множество смежных классов является группой (единицей является смежный класс Н=Не, а класс, обратный классу Hg,

2 Зак. 160. М. М. Постников

определяется формулой (Hg) = Hg~). Эта группа называется факторгруппой группы О по нормальному делителю И и обозначается через 0/Н.

Для конечной группы О факторгруппа О/Я конечна и ее порядок равен индексу подгруппы Я.

Если Нг=е, то факторгруппа О/Я совпадает, очевидно, с группой О, а если Н=0, то факторгруппа О/Я состоит только из одного элемента (единицы).

4. Гомоморфные отображения

Пусть О и О - произвольные группы. Отображение (р: О -> О группы О в группу О называется голожордбмзжол (или гомоморфным отображением), если оно произведение переводит в произведение, т. е. если для любых элементов g,, 2 группы О имеет место равенство

(p(gig"2) = 9(g"i)(p(g2)-

Полагая в этом равенстве gg2 = e, мы получим, что9(е)=: = (р(е)<р(в), откуда следует, что <р(в) равно единице группы О. Далее, полагая g=g, g2 = g~\ мы получим, что tp(e) =

= 9(5)<p(g"). т. е. что 9(g~) = ?(g)~- Таким образом, гомоморфизм Переводит единицу в единицу и обратный элемент в обратный.

Взаимно однозначное гомоморфное отображение называется изоморфизмом (или изоморфным отображением). Две группы, называются изоморфными, если существует хотя бы одно изоморфное отображение одной группы на другую. Изоморфные группы обладают одинаковыми алгебраическими свойствами и в общей теории групп рассматриваются как одинаковые (см. Курс, стр. 282 и 395).

Пусть ср; 0-уО-произвольный гомоморфизм. Очевидно, что для любой подгруппы Я группы О совокупность всех элементов группы О, имеющих вид <f(h), где hH, является подгруппой группы О. Эта подгруппа называется образом подгруппы И при гомоморфизме ср и обозначается обычно через ср(Я).

В частности, определена подгруппа ср(0) - образ группы О при гомоморфизме ср. Эта подгруппа называется также образом гомоморфиз.а tp и обозначается иногда через Im<p.

4. ГОМОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 35

Если 9(0) = О, т. е. если для любого элемента g0 существует такой элемент g (вообще говоря, не однозначно определенный), что (f(g) = g. то ср называется эпиморфным отображением (или просто эпиморфизмом) группы О на группу О.

Особое значение эпиморфизмов определяется тем, что любой гомоморфизм ср: 0-0 можно рассматривать как эпи-морфное отображение группы О на подгруппу (р(0). Это замечание легко обобщается: для любой подгруппы Я группы О гомоморфизм <р можно рассматривать как эпиморфное отображение подгруппы Н на подгруппу tp (Я). Точнее, гомоморфизм ер определяет некоторое эпиморфное отображение ер: H->-<f{H) (отображения ср и ср на элементах подгруппы Я совпадают и отличаются лишь тем, что ср определено на всей группе О, а ср - лишь на подгруппе Я).

Пусть опять tp: 0-0 - произвольный гомоморфизм, и пусть Я и Я - такие нормальные делители групп О и О соответственно, что <(Н)сН, Рассмотрим в группе О произвольный смежный класс Hg. Любой элемент hg этого смежного класса при гомоморфизме ер переходит в элемент tp (Л) tp (g), принадлежащий смежному классу H(f(g). Таким образом, все элементы смежного, класса Hg переходят в элементы одного и того же смежного класса H(f(g). Обозначим этот однозначно определенный смежный класс через ср(Я):

(Я) = Яср(). Тем самым мы определили некоторое отображение

: QIH-*QIH.

Это отображение гомоморфно, ибо

{Hgx Hg) = 9 {Hgigi) Яср (g,g2) = (gl) 9 (2)j=

= Яср (gl) Яср (g) = ср (Hgi) (p (Hg),

Мы будем говорить, что гомоморфизм tp индуцирован гомо? морфизмом ср. Подчеркнем, что он определен только тогда, когда

(Н)сН\

В частном случае, когда нормальный делитель Н состоит только из единицы ? группы О, мы получаем, чтд