если if{H)= e, то гомоморфизм ер: О-*О индуцирует гомоморфизм ср: О/И-*О. Очевидно, что

гомоморфизм, индуцированный эпиморфным отображением, является эпиморфизмом.

Рассмотрим теперь совокупность N всех элементов, переходящих при гомоморфизме ер: О-О в единицу е группы О. Если aN, bN, т. е. ср(а) = в, ср(*) = в, то <f{ab) = ee = е, т. е. abN. Аналогично, если aN, то a~N. Кроме того, если og/V и g -любой элемент группы О, то <f(gag-) = <f(g)<f(g)~ = e, т. е. gag~N. Таким образом, N является нормальным делителем группы О. Этот нормальный делитель называется ядром гомоморфизма ср и обозначается через Кегср.

Если ср(а) = ср(*), то ср(а*~) = в, т. е. abN. Обратно,, если abN, то ср(а) = ср(*). Но ab~N тогда и только тогда, когда а ч b принадлежат одному смежному классу по подгруппе N. Таким образом,

при гомоморфизме ср: 0-уО элементы группы О тогда и только тогда переходят в один и тот же элемент группы О, когда они принадлежат одному смежному классу по ядру гомоморфизма ср.

Если Кегср = е, то гомоморфизм ср называется мономорфизмом. Из только что доказанного утверждения следует, что мономорфизм ср: О-*-О переводит различные элементы группы О в различные элементы группы О, т. е. является изоморфным отображением группы О на подгруппу ср(0) группы О. В частности, отображение одновременно моно-морфное и эпиморфное является изоморфизмом, и обратно.

Так как для любого гомоморфизма ср: О-»О с ядром N

ср(Л/) = е.

то гомоморфизм ср индуцирует некоторый гомоморфизм

: OIN-*0. Гомоморфизм ср определяется формулой

9(Л/) = ср().

Если <f(Ng) = e, т. е. cp(g-) = e, то gN и, следовательно,, Ng==N. Другими словами, ядро гомоморфизма ср

4. ГОМОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 37

состоит только из одного смежного класса N - единицы группы 0/N, т. е. гомоморфизм tp является мономорфизмом. Таким образом,

любой гомоморфизм ер: 0-0 индуцирует мономорфизм 9: QjN-Q, где yV = Ker(p.

Если гомоморфизм ер является эпиморфизмом, то, как мы знаем, гомоморфизм ср также будет эпиморфизмом, а значит и изоморфизмом. Таким образом,

любой эпиморфизм ер: индуцирует изоморфизм

i: Q/N-Q. где Л/ = Кегср.

Это утверждение известно как теорема о гомоморфизмах.

Группа О называется гомоморфным образом группы О, если существует хотя бы одно эпиморфное отображение группы О на группу О (принято говорить именно «гомоморфный образ», хотя, конечно, более последовательно было бы говорить «эпиморфный образ»). Из доказанного предложения немедленно следует, что любой гомоморфный образ группы изоморфен некоторой ее факторгруппе.

Заметим, что обратное утверждение также справедливо:

любая факторгруппа 0/N группы О является гомоморфным образом группы О.

Для доказательства достаточно построить хотя бы одно эпиморфное отображение ер группы О на факторгруппу QjN. Такое отображение можно, например, определить формулой

Заметим, что так определенное отображение ер есть не что иное, как отображение, индуцированное тождествен ным отображением группы О на себя (в общем определении нужно за Я принять единичную подгруппу, а за И нор мальный делитель N).

глABA 3 ТЕОРИЯ ГАЛУА

1. Нормальные расширения

Во всей этой главе предполагается заданным некоторое фиксированное поле Р. Мы будем называть это поле основным полем. Все другие поля предполагаются расширениями этого основного поля. Подчеркнем, что основное поле можно выбрать совершенно произвольно.

Пусть /(лг) - произвольный (вообще говоря, приводимый)

многочлен над полем Р. Расширение Pia.....а„) поля Р,

порожденное всеми корнями .....а„ многочлена f(x),

называется полем разложения этого многочлена (заметим, что это определение отличается от определения, принятого в Курсе, стр. 304, где полем разложения называется любое, не обязательно минимальное расширение поля Р, содержащее

корни .....а„). Согласно гл. 1, п. 5, любой элемент

поля Р(а,.....а„) выражается в виде многочлена от

aj.....а„ с коэффициентами из поля Р.

Конечное расширение К поля Р называется нормальным расширением, если любой неприводимый над Р многочлен, имеющий в К хотя бы ддин корень, разлагается в /С на линейные множители. Другими словами, расширение К поля Р нормально, если выполняются следующие два условия:

1) К конечно над Р;

2) если неприводимый над Р многочлен имеет в К хотя бы один корень, то К содержит поле разложения этого многочлена.

Нормальные расширения основного поля Р мы будем также называть нормальными полями.

Два алгебраических (над полем Р) числа называются сопряженными (над Р), если их минимальные многочлень]