Рис. 1 и 2. Метод сечений.

где X, У, Z суть проекции внешних сил на оси x,y,z.

Совершенно аналогичная теорема существует и для моментов внешних сил: сумма всех этих моментов при равновесии равна нулю.

Как для упругих твердых, так и для жидких тел важно знать напряженное состояние внутри тела, т. е. внутренние силы, действующие между мельчайшими частицами тела во всех направлениях и во всех точках тела. Однако в общем случае приходится ограничиваться указанием только среднего напряженного состояния. В самом деле, как бы ни была мала выделенная область около рассматриваемой точки тела, в ней все же содержится очень большое число частиц тела, находящихся к тому же в оживленном тепловом движении, и поэтому картина распределения сил взаимодействия между этими частицами имеет очень запутанный вид. Но как же вообще можно получить представление о внутренних силах, если наши теоремы об условиях равновесия говорят только о внешних силах? Для этого, как мы сейчас увидим, необходимо сделать внутренние силы внешними. Это вполне возможно следующим образом. Вообразим некоторое тело, к которому приложены внешние силы (на рис. 1 они обозначены стрелками). Мысленно разрежем его на две части и одну из частей, например, часть I, примем за нашу систему масс. Тогда все силы, с которыми частицы части II действовали на частицы части I и которые раньше были внутренними силами, теперь будут внешними силами. Эти силы определенным образом распределены по площади сечения, и сумма их должна быть такова, чтобы выделенная часть тела продолжала оставаться в равновесии. Следовательно, результирующая этих сил должна быть равна и прямо противоположна результирующей внешних сил, действующих на выделенную часть тела (рис. 2). Таким образом, мы получили вполне определенное и однозначное представление о результирующей внутренних сил в проведенном сечении тела.

Такая результирующая внутренних сил, отнесенная к единице площади сечения, называется напряжением. В только что рассмотренном

Mы получили бы совершенно такой же результат, если бы вместо части I тела рассмотрели часть II, только теперь результирующая внутренних сил была бы приложена к части II и направлена в прямо противоположную сторону.

Рис. 3. Равновесие тетраэдра

примере, разделив найденную результирующую внутренних сил на площадь сечения, мы получим, очевидно, среднее напряжение в сечении. Вообще же на различных площадках сечения напряжение может быть разным. Напряжение на площадке, подобно силе, является вектором.

Таким образом, мысленно рассекая тело на две части, мы превращаем внутренние силы, действующие в проведенном сечении, во внешние. Такой способ определения внутренних сил называется способом сечения. Этот способ допускает широкое применение во всех случаях, когда требуется исследовать напряженное состояние внутри тела. Для этой цели внутри тела вырезается при помощи некоторого числа сечений небольшая частица, например, параллелепипед, призма, тетраэдр, и исследуется ее равновесие. Из многочисленных и важных теорем о напряженном состоянии, которые могут быть выведены из рассмотрения равновесия таких частиц, приведем следующую: если в трех сечениях, образующих друг с другом трехгранный угол, напряжения известны, то напряжения во всех других сечениях могут бытъ определены. Для доказательства поступим следующим образом. Пересечем трехгранный угол четвертой плоскостью, именно той плоскостью, в которой требуется определить напряжение. Эта плоскость образует вместе с первыми тремя тетраэдр (рис. 3). Силы 1,2,3, действующие на грани, напряжения на которых известны, мы получим, умножив заданные напряжения на площади соответствующих граней. Имеется только одна сила 4, которая уравновешивает сумму сил 1-1-2-1-3. Эта сила, разделенная на площадь соответствующей грани, и дает искомое напряжение. Для выполнения вычислений удобнее всего совместить заданные сечения с координатными плоскостями (рис. 3).

Теперь, после того как мы разъяснили понятие напряжения, мы можем дать более точное определение напряженному состоянию: напряженным состоянием в какой-либо точке называется совокупность напряжений во всех сечениях, проходящих через заданную точку. Не вдаваясь в подробности теории напряженного состояния, упомянем только, что напряженное состояние в точке может быть связано с некоторым эллипсоидом, так называемым эллипсоидом напряжений. Следовательно, напряженное состояние представляет собой тензор. Согласно приведенной выше теореме напряженное состояние в точке (а также соот-

ветствующий ему эллипсоид) известно, если заданы напряжения в трех сечениях, образующих друг с другом трехгранный угол. В каждом эллипсоиде имеются три взаимно перпендикулярные оси. Этим осям эллипсоида, называемым главными осями, соответствуют в напряженном теле такие три взаимно перпендикулярных сечения, в которых напряжения нормальны к сечениям. Эти напряжения называются главными напряжениями, а соответствующие направления - главными направлениями напряженного состояния.

§ 3. Давление жидкости. Напряженное состояние в жидкости, находящейся в равновесии, особенно простое. Сопротивление жидкости деформации, т.е. перемещению ее частей относительно друг друга, имеет некоторое сходство с трением. Если при соприкосновении двух твердых тел трение отсутствует, то давление одного тела на другое в плоскости их соприкосновения должно быть обязательно перпендикулярно к этой плоскости; следовательно, при скольжении вдоль плоскости соприкосновения не должно совершаться никакой работы. Совершенно аналогично проявляет себя и отсутствие в жидкости сопротивления деформации: в этом случае напряжение внутри жидкости, или, как принято говорить, давление жидкости, должно быть везде перпендикулярно к поверхности того сечения, на которое оно действует. Это свойство давления жидкости может рассматриваться как определение жидкости, совершенно эквивалентное тому определению, которое было сделано в § 1.

Рис. 4. Силы, действующие на боковые грани призмы

Рис. 5. Треугольник сил, действующих на боковые грани призмы

При помощи простых соображений из указанного свойства давления можно вывести другое важное свойство. Мысленно выделим в жидкости небольшую трехгранную призму с основаниями, перпендикулярными к ребрам призмы (конечно, мы могли бы также вообразить, что выделенная внутри жидкости призма отвердела; в таком случае нам надо было бы исследовать равновесие сил, действующих на призму со