через значение, равное скорости звука, коэффициент при делается

нием эллиптического типа; если же коэффициент при отрицате-

Это дифференциальное уравнение ясно показывает разницу между дозвуковыми и сверхзвуковыми потоками. Когда скорость и переходит

равным нулю. Пока этот коэффициент положителен, дифференциальное уравнение (35) имеет такой же вид, как и соответствующее уравнение потенциального течения несжимаемой жидкости, и называется уравне-

лен, уравнение (35) имеет такой же вид, как уравнение для колебаний струны, и называется уравнением гиперболического типа. При Ио = с, т. е. при скорости течения, равной скорости звука, мы имеем:

= =П ду ду

и величина

ди дх дх

может принимать произвольные значения; это означает, что в этом случае могут существовать установившиеся волны с фронтом, параллельным оси у.

Для скоростей uq > с каждая функция F от y±xtga; непрерывная и дважды дифференцируемая, а в остальном произвольная, является решением уравнения (35), если только подходящим образом определить величину а. В самом деле, мы имеем:

следовательно, для того чтобы удовлетворить уравнению (35), необходимо принять, что

.ga(5-l)=I.

Обозначим потенциал скоростей через (р, тогда будет

д(р dip

дх ду

и уравнение (34) примет вид:

др/ ul\ д-р

Отсюда находим:

tga = ±

Таким образом, решением уравнения (35) для случая, когда Uq > с, являются волны произвольной формы, прямолинейные фронты которых (у = ±а; tg а + const) наклонены к оси х, имеющей среднее направление линий тока, на угол Маха влево или вправо. Следовательно, мы получили тот же результат, к которому пришли в § 2 упрощенным способом.

В случае, когда скорость течения Ио меньше скорости звука с, для решения уравнения (35) применим следующий прием. Сравним рассматриваемый дозвуковой поток сжимаемого газа с потоком несжимаемой жидкости с той же плотностью ро и той же заданной скоростью Ио-Координаты точек несжимаемого потока будем обозначать через X и У, составляющие возмущенной скорости, дало отличающейся от ио, - через и и V и соответствующий потенциал скоростей - через Ф. Согласно сказанному в § 10 гл. II этот потенциал должен удовлетворять дифференциальному уравнению

Предположим далее, что потенциалы скоростей обоих потоков - сжимаемого и несжимаемого - связаны между собой соотношением

= £ф. (37)

Для того чтобы функция (р удовлетворяла уравнению (35) и одновременно функция Ф уравнению (36), масштабы для перехода, с одной стороны, от координаты х к координате X, а с другой стороны, от координаты у к координате Y должны быть разными. Полагая

у Р х

мы можем путем соответствующего выбора множителя /3 осуществить связь (37) между потенциалами и Ф. Для упрощения расчетов произвольно примем, что X = ж, тогда мы будем иметь:

У = (iy. (38)

Пользуясь соотношениями (37) и (38), мы можем переписать уравнение (35) в следующем виде:

Это уравнение тождественно совпадает с уравнением (36), если принять, что

Величина е остается при этом пока произвольной. Безразмерная величина Y называется числом Маха и обозначается буквой М. Применяя это обозначение, мы можем написать:

/3 = - М2. (40)

Так как /3 всегда меньше единицы, то из соотношения (38) следует, что поперечное протяжение (у) поля скоростей и поля давлений у сжимаемого потока больше, чем у несжимаемого потока (У). При приближении Ио к скорости звука величина /3 стремится к нулю, а поперечное расстояние, на которое распространяются возмущения течения, неограниченно возрастает.

Угол S, образуемый какой-нибудь линией тока с осью ж, определяется из соотношения

Ио -Ь и

которое мы можем заменить следующим приближенным равенством:

"6" Ио Uo ду-

Аналогичным образом мы можем написать и для несжимаемого потока:

б" Ио Ио dY

Если оба потока вызваны присутствием в несжимаемой жидкости и сжимаемом газе одного и того же тела с заостренными концами (рис. 242), то на линии тока, ограничивающей тело, должно соблюдаться условие

tgJ = tgA,