ду ~ дУ

Вследствие соотношений (37) и (38) это условие

принимает вид: Рис. 242. Обтекание те-

£/3 = 1, ла с заостренными кон-

откуда следует, что

цами

Для того чтобы сравнить распределения давления в обоих потоках, достаточно рассмотреть градиенты давления в направлении оси х. Так как масштаб для координат в направлении х в обоих случаях одинаковый, то конечные разности давлений в обоих потоках относится друг к другу как указанные градиенты. В сжимаемом потоке главный член градиента давления вдоль оси х равен

, , -уди ди dip

р(и, + и)дриод=рио,

а в несжимаемом потоке

Отношение этих градиентов равно

=£= 1

Отсюда следует, что при обтекании одного и того же заостренного тела сжимаемым и несжимаемым потоком разности давлении в сжимаемом

потоке в первом приближении в раз больше, чем в несжимаемом потоке. Это так называемое правило Прандтля применимо, как подтверждают опыты, также к тонким крыльям, установленным на

Пpимepы распределения давления на крыльях для скоростей, близких к скорости звука, имеются в работе Stack Lindsay and Lit t el, NACA-Report №646 (1938).

небольших углах атаки, правда, при условии, что нигде около крыла не достигается скорость звука (см. ниже); в таком случае подъемная сила

возрастает вследствие сжимаемости также в е = раз.

Вопрос об определении величины е в уравнении (37) может быть поставлен также следующим образом: какую форму должно иметь тело, чтобы разности давлений в обтекающем его сжимаемом потоке были такие же, как и в несжимаемом потоке. Такая постановка вопроса важна, очевидно, в том случае, когда распределение давления вдоль обтекаемого тела в несжимаемом потоке близко предельному состоянию, после перехода через которое возникает, вследствие влияния трения, отрыв потока от тела. Очевидно, что в этом случае величина е должна быть выбрана равной единице. Но тогда

tgJ = /3tgA,

т.е. для того чтобы при обтекании тела сжимаемым потоком не произошло отрыва потока от тела, последнее должно быть тем тоньше, чем ближе скорость потока Ио к скорости звука. Этот вывод также хорошо согласуется с результатами опытов.

Следующая задача, являющаяся хорощей иллюстрацией изложенной теории, может быть решена при помощи простых вычислений. Поток движется со средней скоростью ио вдоль волнистой стенки, контур которой имеет уравнение

у = asinAa;.

Требуется определить, как распространяются в потоке возмущения, вызванные стенкой.

Из уравнения

v dy «о dx

находим, что скорость v вблизи стенки, где у = О, будет:

V = uoaXcMS Хх. (42)

Потенциал скоростей для несжимаемого потока равен

Ф = -cosAXe"",

а для сжимаемого потока -

<fi = -A cos Ах • е-«/. (43)

Рис. 243. Дозвуковой поток около волнистой стенки при скорости течения ио -С с

Рис. 244. Дозвуковой поток около волнистой стенки при скорости течения ио = О, 9с

Условие, что при у = О скорость v должна иметь значение (42), приводит к уравнению:

иоаА = AXVl - М2, откуда находим: А =

Рис. 245. Сверхзвуковой поток около волнистой стенки при скорости течения ио = 1, 25с

что согласуется с изложенным выше. На рис. 243 изображены линии тока несжимаемого потока; мы видим, что влияние волнистой стенки сказывается только на близких расстояниях от нее. На рис. 244 изображены линии тока для потока, скорость которого близка к скорости звука. Наконец, на рис. 245 изображен поток со сверхзвуковой скоростью, равной ио = 1, 25с. Для сверхзвукового потока потенциал скоростей равен

VM2 - 1

sinA(a; - ул/М - 1)

(44)

Приведенная выше приближенная теория дозвуковых потоков была изложена для облегчения понимания только для плоских потоков. Однако она полностью применима и для трехмерных потоков. В этом случае оба протяжения занимаемого потоком пространства, перпендикулярные к направлению скорости uo, должны быть растянуты при переходе от несжимаемого потока к сжимаемому совершенно так же, как было сделано выше для протяжения в направлении оси у.

Основная суть изложенной теории заключается в том, что при ее построении отклонения действительной скорости течения от заданной невозмущенной скорости Uq предполагаются настолько малыми, что в дальнейших вычислениях можно пренебрегать вторыми и более высокими степенями указанных отклонений. Именно благодаря этому решение задачи свелось к линейному дифференциальному уравнению (35)