и для газов. В этом смысле газы следует считать сжимаемыми жидкостями. Особенности движений со значительными изменениями объема будут рассмотрены в гл. IV.

§ 2. Методы кинематического исследования течения жидкости. Для получения исчерпывающей картины течения, необходимо для каждой частицы жидкости знать ее положение в пространстве в каждый момент времени; в самом деле, определяя изменение положения частицы в пространстве при изменении времени, мы нашли бы ее скорость и ускорение. Для составления такой картины необходимо прежде всего как-то обозначить отдельные частицы жидкости, чтобы отличать их друг от друга. Это можно сделать следующим образом. В произвольный момент времени t = tg отнесем рассматриваемое течение жидкости к произвольной системе координат, например, прямоугольной. Тогда каждой частице жидкости будет соответствовать вполне определенная тройка чисел а,Ь,с. Эта тройка чисел и будет служить для рассматриваемой частицы ее обозначением при исследовании течения. Пусть в любой другой момент времени t, не совпадающий с Iq, координаты рассматриваемой частицы жидкости будут x,y,z. Эти координаты будут, очевидно, функциями не только времени t, но и тройки чисел а, Ь, с, обозначающих частицу. Следовательно, для составления картины течения жидкости необходимо знать функции

x = Fi{a, b, с, t),

y = F2{a,b,c,t), (1)

z = f3{a,b, c,t).

Для полной характеристики состояния движущейся жидкости необходимо знать еще давление р, а для жидкости переменной плотности р - также и последнюю.

Однако доведение такого метода исследования течения жидкости до конечного численного результата удается только в немногих, особенно простых случаях. Поэтому обычно предпочитают пользоваться другим, более простым методом, позволяющим указать, что происходит в каждой точке пространства в каждый момент времени. Следовательно, при этом методе исследования индивидуальная судьба отдельных частиц оставляется без внимания. Если рассматриваемое течение - установившееся, т.е. не изменяющееся во времени, то для получения картины движения достаточно указать величину и направление скорости в каждой точке пространства, занятого потоком; кроме того, для полного описания состояния движения необходимо определить также

давление, а при переменной плотности - и последнюю. Если же течение неустановившееся, т.е. изменяющееся во времени, то скорость и давление (в необходимом случае и плотность) должны быть указаны для каждого момента времени. Математически эти указания даются обычно в виде зависимостей, связывающих три проекции скорости и, v, w на прямоугольные оси координат (в необходимом случае также давление р и плотность р) с пространственными координатами x,y,zvi временем t, т.е. в виде уравнений:

и = fi{x,y,z,t),

v = f2{x,y,z,t), (2)

w = f3{x,y,z,t).

Систему уравнений (1) называют уравнениями Лагранжа, а систему уравнений (2) - уравнениями Эйлера, хотя Эйлеру были известны обе системы.

Если желательно проследить траекторию какой-нибудь частности, то необходимо проинтегрировать систему из трех дифференциальных уравнений

dx = и dt, dy = V dt, dz = w dt.

Так как три постоянные интегрирования можно рассматривать как координаты частицы жидкости в некоторый начальный момент времени, то мы опять приходим к уравнениям Лагранжа (1).

Наглядное представление о мгновенной картине течения жидкости дают так называемые линии тока, касательные к которым указывают направление вектора скорости в точках касания. Линии тока совершенно аналогичны силовым линиям силовых полей. Линии тока определяются системой диференциальных уравнений

dx (h[ dz и V W

При установившемся течении линии тока совпадают с траекториями частиц. При неустановившемся течении такое совпадение не имеет места. В самом деле, касательные к линии тока дают направления скорости разных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определенный момент времени, в то время как касательные к траектории дают направления скорости определенных частиц в последовательные моменты времени.

Рис. 25. Течение около движущейся пластинки. Снимок сделан неподвижной фотокамерой. Путь, проделанный пластинкой, заметен по следам ее боковых краев

Необходимо заметить, что форма линий тока одного и того же потока, а также форма траекторий зависят от системы отсчета. Так, например, при движении тела в жидкости для наблюдателя, покоящегося относительно невозмущенной жидкости, линии тока и траектории будут совсем иными, чем для наблюдателя, движущегося вместе с телом.

Линии тока можно сделать видимыми, если поверхность жидкости посыпать мелкими частицами такого нерастворимого вещества, которое может двигаться вместе с жидкостью. Можно также ввести такие частицы внутрь жидкости. При съемке с короткой выдержкой каждая введенная в жидкость частица оставляет на фотографической пластинке короткую черточку. При достаточно большом числе частиц черточки тесно примыкают друг к другу и дают картину линий тока. Для получения траекторий необходимо уменьшить количество вводимых в жидкость посторонних частиц и производить съемку с длительной выдержкой.

На рис. 25 и 26 изображены фотографические снимки пластинки, движущейся в неподвижной жидкости. Оба снимка сделаны одновременно, но в разных системах отсчета, а именно, снимок на рис. 25 получен при помощи камеры, неподвижной относительно невозмущенной жидкости, и снимок на рис. 26 - при помощи камеры, неподвижной относительно двигавшейся в жидкости пластинки, т. е. двигавшейся вместе с пластинкой. Для получения снимков поверхность жидкости была посыпана ликоподием.