iProsselW., 61 und Kohle, т. 39 (1943), стр. 257, см. также Forschung, т. 9 (1938) стр. 273.

удается таким путем очень эффективно удалять примеси газа из расплавленных металлов.

При пульсации пузырька газа в окружающем его пограничном слое происходит продольный сдвиг, причем скорости сдвига в одной половине слоя направлены в одну сторону, а в другой - в противоположную сторону. По-видимому, такого рода движение способствует выделению пузырьков газа из растворителя. Это явление наблюдается, между прочим, в смазочном масле, помещенном между двумя коаксиальными цилиндрами, вращающимися относительно друг друга.

В. ВРАЩАЮЩИЕСЯ ТЕЛА И ВРАЩАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

§ 8. Уравнение Бернулли во вращающейся системе отсчета, а) В этой подглаве мы рассмотрим движения жидкости, которые возникают около вращающегося тела или во вращающемся пространстве, причем остановимся только на случае равномерного вращения, как наиболее важном. При изучении таких движений жидкости целесообразно рассматривать их с точки зрения наблюдателя, вращающегося вместе с телом или пространством. В самом деле, для такого наблюдателя вращающееся тело или пространство находятся в покое, и поэтому в ряде случаев течение жидкости будет казаться ему установившимся. Как известно, законы механики остаются справедливыми и во вращающихся системах при условии, что к силам, действующим в абсолютной системе координат, добавляются еще две массовые силы, из которых одна является функцией только положения в пространстве, а другая зависит также от скорости. Первая из этих добавочных сил равна рассматриваемой массе, умноженной на взятое с отрицательным знаком ускорение (в абсолютном пространстве) той точки вращающейся системы отсчета, которая совпадает с мгновенным положением массы. Этим ускорением, называемым переносным ускорением, в нашем случае является центростремительное ускорение шг, где ш есть угловая скорость вращения; поэтому добавочная сила, направленная в противоположную сторону, представляет собой не что иное, как центробежную силу тшг. Вторая добавочная сила равна рассматриваемой массе, умноженной на взятое с отрицательным знаком поворотное, или кориоли-сово ускорение, которое равно по модулю 2u}V, где v есть относительная

скорость массы, и направлено перпендикулярно к оси вращения системы отсчета и, кроме того, перпендикулярно к относительной скорости. Следовательно, вторая добавочная сила, называемая кориолисовой силой, равна -2mu}V и направлена перпендикулярно к относительной скорости.

Для пояснения приведем два простых примера. Пусть материальная точка с массой т покоится в абсолютном пространстве. С точки зрения наблюдателя, находящегося в системе координат, вращающейся с угловой скоростью ш, эта точка описывает окружность с угловой скоростью -ш. Для того чтобы к этому движению можно было применить законы механики, необходимо, согласно сказанному выще, присоединить к силам, действующим в абсолютном пространстве (такие силы в данном случае отсутствуют) центробежную силу -тгиР и кориолисову силу, равную по модулю

2mujv = 2тгш

и направленную, согласно приведенному выще правилу, к центру вращения, следовательно, в сторону, обратную центробежной силе. Таким образом, результирующая сила, приложенная к материальной точке в ее движении относительно вращающейся системы координат, равна

-тги> + 2тги> = тги>

и направлена к центру вращения, т. е. представляет собой именно ту центростремительную силу, которая во вращающейся системе отсчета необходима для создания кругового движения.

В качестве второго примера рассмотрим материальную точку в виде маленького щарика с массой т, помещенную в гладкую прямолинейную трубку, вращающуюся с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси, перпендикулярной к центральной линии трубки. С точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с вращающейся системой отсчета, на щарик действует прежде всего центробежная сила, поэтому щарик будет двигаться ускоренно вдоль трубки по направлению от центра вращения. Кроме того, на шарик действует кориолисова сила 2ma;n, где v есть относительная скорость шарика в рассматриваемый момент времени; кориолисова сила прижимает шарик к стенке трубки, которая, в свою очередь, действует на шарик с равной, но противоположно направленной силой. Кинетическая энергия шарика с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с вращающейся системой отсчета, все время возрастает за счет работы, совершаемой центробежной силой. Кориолисова сила перпендикулярна к пути шарика и поэтому не совершает никакой работы. В абсолютной системе отсчета шарик в радиальном направлении совершенно свободен, тем не менее его кинетическая энергия все время возрастает, но на этот раз за счет работы той силы реакции, с которой стенка трубки действует на шарик; эта сила, вызывающая в абсолютном движении

2

Поэтому уравнение движения можно сразу проинтегрировать, и мы получим уравнение Бернулли в следующем виде:

$+gz+ =const+. (24)

В общем случае постоянная имеет разные значения для различных линий тока, поэтому уравнение (24) применимо вообще только к точкам, лежащим на одной и той же линии тока. Но в том случае, когда жидкость покоится относительно вращающейся системы координат (скорость W везде равна нулю), следовательно, когда линии тока вообще отсутствуют, уравнение (24) совпадает с уравнением (19) на стр. 41 и поэтому применимо для любых точек в занятом жидкостью пространстве.

Постоянная в уравнении (24) не связана с линиями тока также в таких относительных потоках, которые, если их рассматривать в неподвижной системе отсчета, свободны от вращений, т. е. представляют собой вообще неустановившиеся потенциальные потоки. С этим практически важным случаем мы встречаемся, например, в турбинах или центробежных насосах, когда поток жидкости из неподвижной системы каналов переходит во вращающуюся систему каналов (предполагается, что трение отсутствует). В неподвижной системе отсчета каждая частица такого потока остается свободной от вращения, поэтому во вращающейся системе отсчета она должна иметь вращение с постоянной угловой скоростью -U} вокруг оси, параллельной оси вращения системы каналов. Общее доказательство того, что в таком потоке постоянная

все большее и большее увеличение окружной скорости vj шарика, направлена не перпендикулярно к перемещению шарика и, следовательно, совершает определенную работу.

Ь) Выведем уравнение Бернулли для относительного движения в равномерно вращающейся системе координат. Для этой цели достаточно присоединить к силам, рассмотренным на стр. 56, составляющую центробежной силы тшг в направлении течения; вводить в расчеты кориолисову силу нет никакой необходимости, так как она направлена всегда перпендикулярно к скорости относительного течения и поэтому не дает составляющей в направлении течения. Согласно сказанному на стр. 41 центробежная сила имеет потенциал, равный

const -