- 7

в уравнении (24) имеет одинаковое значение для всех линий тока, мы дадим ниже, здесь же мы ограничимся рассмотрением поучительного простого примера. Пусть прямоугольный канал (рис. 286) равномерно вращается вокруг оси Z, перпендикулярно к продольной оси канала. Для простоты рассуждения примем, что эта ось вращения вертикальна, следовательно,плоскость вращения горизонтальна. Пусть в канале движется поток жидкости, который, если рассматривать его в неподвижной системе отсчета, свободен от вращений, т. е. является потенциальным потоком. Обозначим составляющие скорости по осям х, у и z соответственно через и, V и W. Примем, что

Рис. 286. Движение жидкости во вращающемся канале

и = щ + 2u}y, V = W = 0.

Следовательно,

п 1 (dv ди\

Кориолисова сила на единицу объема равна 2ри:и и направлена в отрицательную сторону оси у. Составляющая центробежной силы вдоль оси у равна

2 V 2

ри; г • - = ри; у. Следовательно, повышение давления в направлении оси у равно

щ = -2pu;(ui + 2и;у) + ршу.

Интегрируя это уравнение, мы получим:

р = -p{2u;uiy -Н \У) + /(ж, z).

Левая часть уравнения (24) после подстановки в нее этого значения р и замены скорости w на Mi -- 2и;у принимает вид:

\f{x, z) + gz+\{ul+u;y\

(25)

в. ВРАЩАЮЩИЕСЯ ТЕЛА И ВРАЩАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 461 Правая часть уравнения (24) равна

const + а;2(ж2+ 2/2). (26)

Для того чтобы выражение (25) совпадало с выражением (26), очевидно, функцию /(ж, z) необходимо выбрать в виде

/(ж, z) = const + (ж - и) - pgz.

Таким образом, постоянная в уравнении (24) для рассмотренного класса потоков действительно не зависит от у и z.

Для того чтобы доказать это в общем виде, применим уравнение (39) гл. II (стр. 91) к абсолютному движению и при этом учтем, что относительное движение должно быть установивщимся, следовательно, в каждой точке вращающегося потока (линейная скорость которой равна шг) потенциал скоростей должен оставаться постоянным. В таком случае должно соблюдаться соотношение

где -- есть линейный элемент в направлении вращения. Величина --, оче-

ds OS

видно, есть не что иное, как составляющая скорости абсолютного течения

по направлению вращения. В теории турбин эта составляющая обозначается

через Си- Из соотношения (27) мы имеем:

= -ШГСи-

Переходя в этом равенстве от абсолютной скорости к относительной, мы придем к искомому доказательству"*".

Большое число примеров плоских потенциальных потоков во вращающихся каналах имеется в книге Kucharsky W., Stromungen einer reibungsfreien Fliissigkeit bei Rotation fester Korper, Miinchen und Berlin 1918. Рассмотренный нами пример взят из этой книги. Об экспериментальных работах, связанных с потоками такого рода, имеются сведения в статье FetteH., Zeitschr. f. techn. Physik, т. 14 (1933), стр. 257. Теоретические расчеты потоков в каналах между лопатками рабочих колес турбин приводятся в книге Hydraulische Probleme, Berlin 1926, стр. 180 (статья Spannhake W.), а также в статьях: Spannhake W. und В аг t h W., ZAMM, т. 4 (1929) стр. 466, и Spannhake W., Mitteilungen des Instituts fiir Stromungsmaschinn d. Techn. Hochsch. Karlsruhe №1 (1930), стр. 4. Уравнение

p A uircu

7++2- - =™"*

с) Разложение так называемого статического давления р на весовое давление р и на кинетическое давление р*, выполненное в § 6, п. а) гл. II, может быть применено также к случаю движения жидкости во вращающейся системе координат. В нашем случае весовое давление равно

р = const - gpz + pujr.

(28)

Подставляя в уравнение (24) р = р + Р*, мы получим:

р* = const - р

(29)

следовательно, кинетическое давление р* во вращающейся системе отсчета формально совпадает с кинетическим давлением в неподвижной системе отсчета, хотя формы течения в обеих системах различные. Постоянная в уравнении (29) в общем случае имеет разные значения для разных линий тока, но для класса потенциальных потоков, рассмотренных в предыдущем пункте, она одинакова для всех линий тока.

Если при вращении твердого тела происходит отрыв потока от него, то оторвавшиеся части жидкости в какой-то мере продолжают вращаться и поэтому отбрасываются наружу («центрифугируются»). Такое же центрифугирование испытывают части пограничного слоя, наиболее близкие к поверхности вращающегося тела; при этом возникают вторичные течения такого же вида, как и рассмотренные в § 8 гл. III, и происходит как бы отсасывание пограничного слоя от центра вращения наружу (см. §7 гл. III). На рис. 287 изображены полученные

Рис. 287. Движение в пограничном слое вращающегося гребного винта. Поверхность, на которой давление понижено. Поверхность, на которой давление повышено

впервые встречается у Praiil F., Schweizer Bauzeitung, т. 48 (1906), стр. 300; доказательство рассмотренного свойства постоянной для выделенного класса движений - у Mises R., Theorie der Wasserrader, Leipzig, 1908 (см. также Mises R., Zeitschr. f. Math, und Physik, т. 57 (1909), стр. 1). Новую гидродинамическую теорему для вращающейся системы лопаток приводит А. Буземан в девятом издании книги F 6 р р I, Vorlesungen uber Technische Mechanik, т. IV, 1942.