В этом равенстве величина выражает ту часть ускорения, которая

возникает вследствие перемещения частицы в точку потока с другой

скоростью течения, а величина

ту часть ускорения, которая за-

висит от изменения состояния потока в данной точке во времени. При установившемся течении вторая часть, очевидно, равна нулю. Применяя основной закон динамики, мы получим:

- -ds dF + р dF dsgcos а = р dF ds

dw dt

Так как все члены уравнения содержат общий множитель dF ds, то его можно отбросить (это означает, что конечный результат нашего вывода не зависит от произвольно выбранного объема частицы жидкости). Разделив обе части уравнения на р мы окончательно будем иметь:

1 др

~Ъ~я~ +gcosa = „

Р os os

dw df

-dz-

Массовой силой обычно является только одна сила тяжести. Тогда величину g можно считать постоянной по модулю и направлению. Введем систему координат с осью z, направленной вертикально вверх. Из рис. 29 легко видеть, что в этом случае

cos а = -

поэтому уравнение (7) можно переписать в виде:

Рис. 29. К выводу уравнения Бернулли

idp Pds

ds ds

Если рассматриваемое движение - установившееся, следовательно, = О, а плотность р - постоянная, то все члены уравнения (8) представляют собой производные по s, и поэтому его можно интегрировать вдоль линии тока, что приводит к следующему так называемому уравнению Бернулли:

п ....2

= const. (9)

Это уравнение является основным уравнением при одномерном рассмотрении задач о движении жидкостей, но в то же время оно имеет фундаментальное значение для всей гидромеханики. Оно выражает

собой закон сохранения энергии движущейся жидкости. В самом деле, каждый из его членов представляет собой энергию, заключенную в единице массы жидкости, а именно: первый член есть не что иное, как работа сил давления, второй - потенциальная энергия силы тяжести и третий - кинетическая энергия.

Разделим все члены уравнения (9) на g; тогда все они будут иметь размерность длины и могут быть истолкованы как высоты. Если ввести в уравнение (9) удельный вес 7 = pg, то оно примет вид:

f+ + = const. (10)

В этом уравнении величина означает, согласно § 6 гл.1, высоту столба жидкости, создающего своим весом давление р и поэтому называется пьезометрической высотой. Величина z есть высота рассматриваемой точки потока над какой-нибудь начальной горизонтальной плоскостью

И поэтому называется геометрической высотой. Наконец, величина

есть высота, с которой тело должно упасть, чтобы при свободном падении приобрести скорость ?/;, и поэтому называется скоростной высотой. Таким образом, согласно уравнению Бернулли, сумма пьезометрической, геометрической и скоростной высот на всем протяжении линии тока остается постоянной. При этом значение постоянной на различных линиях тока может быть различным. Однако, если все линии тока начинаются в областии прямолинейно, то постоянная одинакова для всех линий тока. Следовательно, в этом случае уравнение Бернулли применимо ко всему потоку в целом.

В § 6 предыдущей главы мы имели для покоящейся жидкости уравнение (7) которое можно переписать в следующем виде:

- -Ь г = const.

Как легко видеть, оно получается из уравнения Бернулли (10), если в последнем положить w = О или w = const.

Заметим, что рассмотренный нами частный случай течения идентичен с установившемся потенциальным течением, исследованием которого мы займемся ниже.

Интегрирование уравнения (7) возможно и в том случае, когда массовой силой является не сила тяжести, а какая-нибудь другая сила, но при условии, что она обладает потенциалом U. В самом деле, в таком случае можно

f = Pip)

и поэтому можно написать:

idp дР Pds ds

Интегрируя теперь по s, мы получим уравнение Бернулли для установившихся течений в его общем виде:

Р + и+= const. (11)

Математическое дополнение. При трехмерном рассмотрении задач о движении жидкостей вместо одного дифференциального уравнения движения (7) или (8) получаются три дифференциальных уравнения. Выведем эти уравнения, по-прежнему исходя из основного закона динамики: сила равна массе, умноженной на ускорение. Выделим в движущейся жидкости маленький параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными осям прямоугольной системы координат ж, у, z. Объем этого параллелепипеда равен dxdydz, а масса равна pdxdydz. В направлении оси х разность давлений на грани,

перпендикулярные к оси х, дает силу -pdxdydz; аналогичным образом

др др

для направлений у и z мы получим силы ---pdydxdz и --pdzdxdy. Проекции массовой силы, отнесенной к единице массы, обозначим через X, У, Z, следовательно, проекции массовой силы, действующей на параллелепипед, будут равны

X pdxdydz, Y pdxdydz, Z pdxdydz.

Наконец, проекции скорости на оси координат пусть будут и, v, w. Тогда проекция ускорения на ось х будет равна

du ди . dudx . ди . ди dz dt dt dxdt ду dt dzdt

dr dy (jz

или, имея в виду, что - = и, - = v, - = w, dt dt dt

есть прописная греческая буква «р

положить, что

е-cos а =

Если жидкость сжимаемая, то интегрирование уравнения (7) возможно при условии, что жидкость однородная, следовательно, плотность есть функция только давления. Тогда"