,= Мр1 (56)

у 27г /Э1 -Ь /92

где А есть длина волны. Скорости движения, вызванные волнами в обеих жидкостях, одинаковы и по мере удаления от поверхности раздела уменьшаются так же, как величина е"/-. Горизонтальные скорости в обеих жидкостях направлены в разные стороны.

Так же как и на свободной поверхности, на поверхности раздела возможны стоячие волны. Они получаются, например, при наложении двух волн, движущихся навстречу друг другу. Период колебания таких волн равен

гр А

- с

где с есть скорость распространения, определяемая формулой (56).

Формула (56) применима только в том случае, когда толщина каждого слоя жидкости велика по сравнению с При меньшей толщине

слоев для скорости распространения волн получается значительно более сложная формула. Однако, если один из слоев, имеет очень большую толщину по сравнению с толщиной h, другого слоя и разность плотностей р2 = Pl мала по сравнению со средним арифметическим , то для скорости распространения очень длинных волн получается простая формула:

gh{p2-pi)

Кроме того могут образоваться волны на свободной поверхности, скорость распространения которых при большой длине волны равна

Формула (56) показывает, что если разность р2 - pi мала, то скорость распространения внутренних волн незначительна по сравнению со скоростью распространения поверхностных волн.

Более подробные сведения можно найти в книге L amb Н., Hydrodynamics, § 231 и следующие.

друга, то при достаточной толщине обоих слоев образуются волны, скорость распространения которых, как уже было упомянуто на стр. 134, равна

См. BjerknesV., Physikalische Hydrodynamik, стр. 387, а также LambH., Hydrodynamics § 248 и 249.

Такой случай имеет место, например, при наслоении пресной воды на соленую при таянии дрейфующего льда в полярных морях. Наблюдения показывают, что в этом случае при достаточной толщине слоя пресной воды скорость движения корабля не может превысить скорости распространения внутренних волн. Так происходит потому, что весь излишек мощности расходуется на образование внутренних волн с весьма значительной амплитудой, и поле давлений потока в верхнем слое удерживает корабль все время над гребнем волны. Для того чтобы дать возможность кораблю двигаться с нормальной скоростью, необходимо превысить критическую скорость движения, прежде чем в полной мере начнет проявлять себя тормозящее действие внутренних волн. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы переход от малой скорости движения к нормальной скорости происходил очень быстро. Достигнув нормальной скорости, корабль беспрепятственно продолжает двигаться с этой скоростью дальше.

Известный интерес представляют также волны, возникающие на поверхности раздела двух жидкостей разной плотности, движущихся со скоростями Ui и U2. В случае жидкостей, покоящихся относительно друг друга, для каждой заданной длины волны возможны два решения, одно из которых дает волны, распространяющиеся вправо, а другое - волны, распространяющиеся влево, причем скорость распространения с тех и других волн одинакова. Аналогичное положение мы имеем и в случае относительного движения обеих жидкостей. Для волн с настолько большой длиной, что скорость их распространения, вычисленная по формуле (56), значительно больше, чем Ui или U2, обе скорости имеют различные знаки; с уменьшением длины Л разница делается все меньше и, наконец, при предельном значении Л, равном

2n(Ui-U2r P1P2

р1-рГ

обе скорости с совпадают друг с другом, причем общее значение с равно

Uipi + U2P2

При значениях Л, меньших Акр, обычное волновое движение невозможно, так как в этом случае амплитуда возникающих волн с течением

в уравнении (33) на стр. 88, взятый вдоль замкнутой линии, не равен нулю. Для того чтобы подсчитать его значение при любом законе распределения плотности р, воспользуемся векторным исчислением, так как вычисления в координатной форме довольно кропотливы и требуют много места. В векторной форме указанный выше криволинейный

Восходящая масса воздуха, попадая в область более низкого давления, охлаждается адиабатически; при достаточной влажности возникает конденсация части водяных паров в виде тумана.

времени нарастает (могут возникать также волны с амплитудой, с течением времени убывающей, однако такие волны не представляют интереса). Все волны с длиной, большей Акр, устойчивы. Характер их распространения ничем не отличается от случая относительного покоя обеих жидкостей. Все волны с длиной, меньшей Акр, имеют фазовую скорость (58). Амплитуда их возрастает по показательному закону, и в конце концов они опрокидываются. Это приводит к перемешиванию соприкасающихся жидкостей, вследствие чего вместо поверхности раздела со скачком плотности получается переходный слой конечной толщины с непрерывным изменением плотности. После образования такого слоя все возмущения волнового характера становятся устойчивыми. Рассмотренная здесь в общих чертах теория находит применение при изучении волн, возникающих на границе двух движущихся слоев воздуха разной температуры. Впервые изучением таких волн занимался Гельмгольц. Часто эти волны делаются видимыми благодаря образованию правильной последовательности облаков на их гребнях. В тех случаях, когда они остаются невидимыми, они всегда могут быть обнаружены по ритмичным колебаниям атмосферного давления.

§ 13. Непрерывное изменение плотности, а) Теорема В.Бьерк-неса. В § 9 гл. II (стр. 82) мы доказали теорему Томсона о том, что в жидкости, лишенной трения, циркуляция вдоль замкнутой жидкой линии не изменяется во времени. Необходимым условием для доказательства было предположение, что плотность жидкости или имеет постоянное значение, или, как в случае однородных газов, зависит только от давления. Для иного, более общего случая распределения плотности теорема Томсона неприменима. В самом деле, теперь интеграл