(13)

причем вместо Щ, тл следует подставить их развернутые выражения dt dt dt

согласно равенству (12). Уравнения (13) называются уравнениями Эйлера. Для того чтобы показать, как они могут быть применены, выведем из них уравнение Бернулли для какой-нибудь линии тока.

Умножим уравнения (13) соответственно на dx, dy, dz, разделим каждое из них на р и затем сложим. Мы получим

d2i dx+< dy+< dz = X dx + Y dy + Z dz-], (%x+%y+dz). (U) dt dt dt P \dx dy dz )

Далее, примем, что величины dx, dy, dz удовлетворяют соотнощениям

dx : dy : dz = и : V : w. (15)

Это означает, что величины dx, dy, dz являются проекциями элемента линии тока ds на оси координат. На основании равенства (12) первый член левой части уравнения (14) можно переписать в следующем виде:

ddx = dx + udx + vdx + dx, dt dt dx dy dz

или, на основании соотнощений (15), в виде:

ddx =%dx + u (pdx + pdy + dz dt dt \dx dy ddz

Выражение в скобках есть не что иное, как изменение величины и при перемещении вдоль линии тока; оно равно du. Поэтому предыдущее равенство принимает вид:

<dx=dx + udu. dt dt

Применяя основной закон динамики для направления оси х, мы получим:

- dxdydz + Xpdxdydz = pdxdydz. ах at

Аналогичные уравнения мы получим и для осей у w. z. Сокращая на dxdydz, мы будем иметь:

PTt-P-Tx

Аналогичный вид будут иметь и второй и третий члены левой части уравнения (14). Предположим для простоты, что рассматриваемое течение - уста-

m ди dv dw ,

новившееся. Тогда члены с производными д отпадут, и мы будем

dx+dy+ 4dz = udu + vdv + wdw = d dt dt dt

u +

Если массовая сила имеет потенциал [/, следовательно, если

X = -

Z = -

ду dz

то сумма первых трех членов в правой части уравнения (14) будет равна

Наконец, выражение в скобках в правой части уравнения 14 можно представить в виде:

др , др дх- дуУд-/ Таким образом, уравнение (14) принимает следующий окончательный вид:

(д V

Это уравнение равносильно уравнению (11) и по-прежнему применимо только к определенной линии тока.

§ 5. Следствия из уравнения Бернулли. При помощи уравнения Бернулли очень просто решаются многие задачи о движении жидкости. Приведем три особенно важных примера.

а) Истечение из открытого сосуда под действием силы тяжести. В выходном отверстии В (рис. 30) линии тока направлены перпендикулярно к выходному поперечному сечению. Внутри же сосуда все линии тока начинаются, очевидно, на свободной поверхности жидкости А, уровень которой по мере вытекания жидкости постепенно понижается. Частицы жидкости на свободной поверхности А находятся под атмосферным давлением pq. Под таким же давлением находятся частицы жидкости и

Рис. 30. Истечение из открытого сосуда

в свободной струе В. Если свободная поверхность А велика по сравнению с площадью F выходного отверстия В, то скорость wa частиц жидкости на свободной поверхности столь мала, что квадрат ее будет ничтожно мал по сравнению с квадратом скорости у)в в выходном отверстии. Следовательно, обозначая через za и zb геометрические высоты в А и В, мы получим на основании уравнения Бернулли:

+gZB +

= +gZA+0,

откуда найдем:

= za - Zb = h,

wb = \/2gu.

(16)

Таким образом, скорость жидкости в выходном отверстии такова, как если бы вытекающие частицы жидкости свободно падали с высоты h. Равенство (16) выражает собой так называемую теорему Торичелли.

Рис. 31. Истечение из круглого отверстия в тонкой стенке

Рис. 32. Истечение из круглого отверстия с закругленными стенками

Поперечное сечение струи, вытекающей из сосуда, вообще не совпадает с поперечным сечением выходного отверстия. Так, например, при истечении через круглое отверстие в тонкой стенке площадь поперечного сечения струи составляет от 0,61 до 0,64 площади отверстия. Это явление, называемое сжатием струи, возникает вследствие того, что жидкость внутри сосуда притекает к отверстию в радиальном направлении (рис. 31) и, достигнув края отверстия, не может здесь внезапно

Этo правильно только при условии, что можно пренебречь весом воздуха, что вполне допустимо, если расчет ведется с точностью до второго десятичного знака.