-р = число

г/2 •

Если мы теперь предположим, что движение жидкости в трубе происходит без трения, то при входе в трубу, на основании уравнения Бернулли, будет иметь место падение давления rw. Из уравнения

rw = gpPSl мы найдем скорость течения:

w = уДфП.

Составляя формально при помощи этой скорости число Рейнольдса, мы получим:

Мы видим, что в обоих случаях безразмерная величина

gfJM

играет при течении существенную роль. В честь И.Грасгофа, впервые разработавшего теорию тяги в трубе, эта величина называется числом Грасгофа и обозначается буквой G. Таким образом

G=S, (Ш)

причем для газов следует подставить /3 = где есть средняя

-t/n

абсолютная температура в рассматриваемом процессе.

Ь) Число Грасгофа входит во все соотношения, получающиеся для естественных потоков в тех случаях, когда задана разность температур. Исключение составляют случаи, для которых задана не разность температур, а количество тепла, отдаваемое в единицу времени. Примером таких потоков могут служить восходящие потоки воздуха около пламени свечи или других источников тепла. Аналитическое исследование подобного рода потоков возможно только на таких расстояниях

Соответствующее число Рейнольдса равно

iSchmidt W., ZAMM, т. 21 (1941), стр. 265 и 351.

Этот, а также другие случаи рассмотрены у Толмина [TollmienW., Berechnung turbulenter Ausbreitungsvorgange, ZAMM, т. 6 (1926), стр. 468]; см. также PrandtlL., Uber die ausgebildete Turbulenz. Verh. d. 2 internat. Kongr. f. techn. Mech. (1926), Zurich 1927, стр. 62. Рейхардт в своей работе [VDI-Forschungsheft №414 (1942)] ставит перед собой задачу вычислить все важнейшие факторы, определяющие турбулентное движение, из результатов опыта и выполняет ее на основе собственных измерении для случая свободной турбулентности. Полученная таким образом теория свободной турбулентности изложена в ZAMM, т. 21 (1941), стр. 257. Другая предпосылка для развития теории турбулентности предложена Прандтлем и проверена на некоторых примерах Гертлером [GitlerH., ZAMM, т. 22 (1942), стр. 241 и 244].

от источника тепла, на которых разности между температурой воздушного потока и окружающей средой малы по сравнению с имеющей здесь место абсолютной температурой. Для турбулентных потоков такое исследование было сделано В.Шмидтом. Его расчеты, основанные на результатах, полученных Толмином для расширяющейся струи, показали, что ширина турбулентного естественного потока, так же, как и ширина турбулентной струи, увеличивается пропорционально расстоянию от начала потока, т.е. в нашем случае пропорционально высоте Z над источником тепла. В случае осесимметричного потока распределение температур и скоростей имеет приблизительно такой же вид, как распределение скоростей на рис. 96 (стр. 169). Скорость, получаемая вследствие статической подъемной силы нагретого воздуха, наибольшая около пламени; по мере удаления от источника тепла она уменьшается пропорционально z~, в то время как уменьшение температуры происходит пропорционально z~. Результаты, полученные Шмидтом, хорошо подтверждаются опытом.

Аналитическое исследование ламинарного естественного потока до сих пор, по-видимому, не выполнено. Приближенные расчеты автора показывают, что скорость восходящего движения не зависит от z, а температура в середине струи пропорциональна 2:". Ширина струи увеличивается пропорционально 2:/.

Эти приближенные расчеты выполняются так же, как и расчеты, сделанные на стр. 169 для расширения струи. В основе этих расчетов лежит допущение, что секундное количество Q тепла, переносимое струей и пропорциональное CppOiWib, имеет одно и то же значение на любой высоте z над источником тепла (wi - скорость в середине струи, - разность между температурой в середине струи и вне струи, 6 - ширина струи). Уравнение движения для центральной линии тока имеет вид:

dvji г, а , drz , 9ту

Если между v)i и z имеет место степенная зависимость, то отношение отдельных членов этого уравнения друг к другу должно быть одинаковым для всех Z, т. е. должна соблюдаться пропорциональность:

--gpPil- (121)

Полагая т ~ pwf для турбулентного потока и т ~ для ламинарного

потока, мы получим из соотношений (121) указанные выше оценки.

В дополнение к сказанному выше добавим еще следующее: в случае турбулентного потока для заданного z

Wl ~ Q и ~ Q/

а в случае ламинарного потока

wi~Q и eiQ.

Плоская задача (восходящий поток воздуха от источника тепла, имеющего большое протяжение в горизонтальном направлении) отличается от рассмотренной осесимметричной пространственной задачи в отношении вычислений только тем, что количество тепла Q, переносимого в одну секунду на единицу длины, следует принять пропорциональным Cppi)iwib, а не Cppeiwib. Поэтому показатель степенной зависимости w от z получается иным, чем в пространственной задаче. Решение Шмидта для турбулентного потока приведено выше. Для ламинарного потока опять 6 ~ г, но зато wi = const и ~ z~.

с) Естественный поток около нагретой вертикальной стенки. Если в пространстве имеется вертикальная нагретая стенка, то около нее образуется слой нагретого воздуха, который поднимается кверху. В общем случае поток получается ламинарным, так как возникают не очень большие скорости. Если разности температур -в в потоке малые, то для приближенного определения зависимости скорости от высоты можно воспользоваться приемом, очень сходным с рассмотренным в предыдущем пункте. Пусть wi есть максимальная скорость в поперечном сечении z = const, i?i - положительная разность между температурой стенки и средой vi 5 - толщина поднимающегося кверху слоя воздуха. Уравнение движения имеет вид:

dz ду ду