Рис. 38. Колебания столба жидкости

до момента достижения скорости wi = y/2gh постоянным. Тогда, подставляя в равенство (23)

вместо мы получим:

wil 21 gh

wi

Другим простым примером неустановившегося движения жидкости является колебание столба жидкости в изогнутой трубе под действием силы тяжести (рис. 38). Пусть труба имеет постоянное поперечное сечение и пусть длина столба жидкости, измеренная вдоль оси трубы, равна /. Обозначим отклонение столба жидкости от положения равновесия, измеренное в направлении оси трубы, в какой-либо момент времени через X (вследствие неразрывности это отклонение одинаково на обоих концах столба, а также во всех промежуточных точках). Скорость везде одинакова и равна w = \ следовательно, в равенстве (6) следует положить

и поэтому ускорение равно

dw (Рх dt dt-"

При отклонении столба жидкости из положения равновесия на х один его конец поднимается на высоту hi = ж sin а, а другой конец опускается на высоту /i2 = xsva.(3, следовательно, разность геометрических высот равна

hi-\-h2= x{sm а -Ь sin/3).

g{sma + sin/3) w = xl---.

Отсюда для периода колебаний Т получаем величину

гр 27г 2jj. / I

у g{sm а + sin /3)

Для вертикальной U-образной трубки sin а = sin/3 = 1, и поэтому период колебаний равен

т.е. совпадает с периодом колебаний маятника, длина которого равна половине длины столба жидкости.

§ 7. Слияние двух потоков. Поверхности раздела. Возникновение вихрей. Если два потока жидкости различного происхождения сливаются в один поток позади острого ребра обтекаемого тела (рис. 39), то в общем случае постоянная в уравнениях Бернулли для обоих потоков имеет разные значения. Это означает, что по обе стороны от поверхности раздела обоих потоков, на которой давление, очевидно, должно быть одинаковым, скорости имеют разные значения. Но даже в том случае, когда постоянная в уравнениях Бернулли для обоих потоков имеет одинаковые значения, скорости над и под поверхностью раздела могут отличаться друг от друга своими направлениями. Таким образом, в рассматриваемых случаях на поверхности раздела происходит

Давление на обоих концах одинаковое; обозначим его через ро. Применяя уравнение (22) к обоим концам столба жидкости, мы получим:

- gxsinP + 0 + - О = + gxsina + 0 + 1,

g-a;(sina -bsin/3) + / = 0.

Решение этого дифференциального уравнения, совпадающего с дифференциальным уравнением упругих колебаний, имеет вид:

X = А cos(u;i + 7),

прерывное изменение скорости. В первом случае происходит продольный скачок скорости, а во втором - поперечный скачок. Поверхности раздела часто наблюдаются в действительности. Однако вследствие неустойчивости они недолго сохраняют свою первоначальную форму. Достаточно небольшого случайного возмущения, чтобы вызвать быстрое искривление поверхности раздела, нарастание Рис. 39. Слияние двух по-разностей скоростей в одних местах и, на- токов оборот, уменьшение этих разностей в других местах. Это приводит к быстрому, обычно беспорядочному распадению поверхности раздела на большое число вихрей.

Рис. 40. Возникновение волн на поверхности раздела

Ввиду большой важности этого явления для понимания действительных движений жидкости рассмотрим его подробнее. Пусть вследствие каких-нибудь колебаний в притоке жидкости поверхность раздела на рис. 39 приняла слегка волнообразную форму (рис. 40). Возникшие волны распространяются со скоростью, равной среднему значению первоначальных скоростей над и под поверхностью раздела (на рис. 39 эта средняя скорость отмечена пунктиром). На рис. 40 взята такая система отсчета, которая движется с этой средней скоростью. Следовательно, в этой системе отсчета гребни и впадины волн остаются неподвижными, верхний поток движется вправо, а нижний - влево. Предполагая, что это течение - установившееся, применим к нему результаты предыдущих параграфов. Из уравнения Бернулли (19), а также из уравнения (20) следует, что на гребнях волн каждого отдельного потока давление повышено, а во впадинах, наоборот, оно понижено (на рис. 40 это отмечено при помощи знаков -- и -). Такое распределение давления показывает, что рассматриваемое точение не может быть установившимся. В самом деле, из тех мест, где давление повышено, жидкость будет перетекать в те места, где давление понижено, но это