ние происходит плавно (иначе образуются вихри), совпадение с теорией получается очень хорошее. Измерение разности давлений в широкой и узкой частях трубы переменного сечения может быть использовано для определения количества протекающей по трубе жидкости (см. § 12 гл. III). Примеры распределения давления вдоль поверхности моделей корпуса дирижабля и крыла самолета показаны на рис. 151 и 162.

-~1~а bed

Рис. 52. Распределение давления в трубке с переменным сечением

Рис. 53. Понижение давления в самом узком сечении трубы

§ 9. Более точное исследование движении однородной жидкости без трения. Потенциальное течение. До сих пор мы удовлетворялись в большинстве случаев определением только средних значений скорости течения жидкости. Между тем целью математической гидродинамики является определение скорости течения в каждой точке пространства, именно так, как об этом было сказано в § 2. Для однородной жидкости, лишенной трения, в этом направлении достигнуты довольно большие успехи, однако с помощью сложных математических методов, знания которых мы не можем предполагать у читателя настоящей книги. Поэтому мы ограничимся здесь только некоторыми общими рассуждениями о свойствах движения однородной жидкости без трения и некоторыми простыми примерами. Прежде всего мы остановимся на теореме В. Томсона [W. Thomson (Lord Kelvin)], доказательство которой отложим до конца параграфа. Предварительно введем и объясним некоторые понятия.

1. Жидкими линиями и жидкими поверхностями называются такие линии и поверхности, которые все время состоят из одних и тех же частиц жидкости.

2. Криволинейным интегралом скорости вдоль заданной кривой между точками А и В называется интеграл от произведения линейного элемента ds кривой на составляющую скорости в направлении ds,

Л = У W cos а ds = J w-ds,

где а есть угол между w и ds, а w • ds - скалярное произведение векторов w vi ds.

3. Величина криволинейного интеграла скорости, взятого вдоль замкнутой кривой, называется циркуляцией и обозначается буквой Г. Применяя для интеграла вдоль замкнутой кривой знак §, мы можем написать:

Г = j) w-ds. (26)

После этих предварительных объяснений мы можем сформулировать теорему Томсона: В однородной жидкости, лишенной трения, циркуляция вдоль замкнутой жидкой линии остается все время постоянной. Из этой теоремы можно вывести много важных следствий. Первое из них заключается в следующем.

Если движение начинается из состояния покоя, то вначале, т. е. до возникновения движения, циркуляция вдоль каждой замкнутой жидкой линии заведомо равна нулю, поэтому и в дальнейшем она остается все время равной нулю. Но если в какой-нибудь области криволинейный интеграл вдоль любой замкнутой кривой равен нулю, то криволинейный интеграл, взятый от одной точки А до какой-нибудь другой точки В рассматриваемой области, не зависит от пути, по которому производится интегрирование. В самом деле, пройдя из точки А в точку В по какому-нибудь пути, вернемся по этому же пути назад в точку А, а затем пройдем опять в точку В по новому пути. Мы получим сумму трех криволинейных интегралов Ai -Ь Лг -Ь Лз, которая пусть равна а. Из этих интегралов первые два взаимно уничтожаются, так как при прохождении в разные стороны по одному и тому же пути направления всех элементов ds изменяются на противоположные, следовательно, интеграл Лз, взятый по новому пути из А в В, равен а. С другой стороны сумма интегралов Лг -Ь Аз равна нулю, так как она составлена для замкнутой кривой, поэтому первый интеграл, взятый по старому пути от А к В, равен Ai = а. Следовательно, Ai = A3, что и требовалось доказать.

Будем рассматривать точку А как неподвижную на жидкой линии

следовательно,

и вычислим криволинейный интеграл

W ds

для разных точек В. Тем самым мы припишем каждой точке В определенное число. Обозначим его через Ф и назовем потенциалом в точке В.

Перейдем теперь от точки В к точке С, находящейся от В на рассто-

янии ds, и вычислим криволинейный интеграл J w • ds. Так как при

составлении этого интеграла мы, очевидно, можем следовать от точки Л к точке С, проходя через точку В, то мы будем иметь:

I W ds = I W ds + W ds,

т. е.

= в + w cos ads. (27)

Обозначая проекцию элемента ds на направление скорости через dh, мы можем представить равенство (27) в виде:

Фс = Фв + wdh. (28)

Для а = 90° мы имеем: cos а = О, и поэтому

Фс = Фв-

Обратно, если Фс = Фв, то отрезок ds = ВС всегда перпендикулярен к направлению скорости w. Совокупность всех точек, для которых потенциал Ф равен Фв, т. е. имеет некоторое постоянное значение, образует поверхность, проходящую через точку В и отделяющую область, в которой Ф > Фв, от области, где Ф > Фв- Плоскость, касательная к этой поверхности в точке В, согласно только что сказанному, перпендикулярна к вектору скорости w в точке В. Отсюда следует, что линия тока, направление которых в каждой точке совпадает с направлением вектора скорости, везде ортогональны к поверхностям равного потенциала Ф = const.

Обозначая Фс - Фв через dФ, мы получим из уравнения (27) для произвольных значений угла а соотношение

= wcosa, (29)