где и, V, w суть проекции скорости w на оси координат ж, у, z, а dx, dy, dz - проекции на те же оси линейного элемента ds. Найдем производную от этого интеграла по времени в предположении, что кривая, вдоль которой производится интегрирование, состоит все время из одних и тех же частиц

жидкости. Будем обозначать такое диференцирование символом (иногда в литературе встречается также обозначение )- Сначала вычислим производную J udx, которую можно представить следующим образом:

А dt

fudx = ffdx + fujidx).

Первый член правой части на основании уравнений Эйлера [§ 4, уравнения (13)] равен

dt Рдх

Что касается второго члена, то, очевидно, для фиксированной частицы

Но в таком случае

следовательно.

(ж -Ь dx) = и -\- du.

f(dx)=du.

причем под du следует понимать разность одновременных значений составляющей скорости и для двух частиц жидкой линии, находящихся в точках с координатами х + dx и х. Поступая аналогичным образом с остальными двумя членами криволинейного интеграла, мы получим:

J{udx + vdy + wdz) = J{Xdx + Ydy + Zdz) -

-J (§<а:-Ь ldej-Ь J{udu + vdv + wdw). (33)

потенциальное, то для него обязательно соблюдается уравнение Бернулли.

Математическое дополнение. Докажем теорему Томсона. Криволинейный интеграл скорости можно представить также в следующем виде:

I wds = Ji udx + V dy + w dz),

1/<»

dx + vdy + wdz) = Ua-Ub+Pa-Pb

где, как и в § 4, введено обозначение:

, (34)

Если интегрирование производится вдоль замкнутой кривой, то точки А и В совпадают, и правая часть равенства (34) делается равной нулю. Таким образом, теорема Томсона доказана. По поводу допущений, сделанных при ее доказательстве, заметим следующее. О том, что силовое поле должно иметь потенциал, мы не упомянули в приведенной выше формулировке теоремы, так как исходили из предположения, что массовые силы не проявляют своего действия. Второе, более важное допущение - об однородности жидкости - было указано в формулировке теоремы. Для неоднородной жидкости теорема Томсона не имеет места.

Покажем теперь, что если установившееся течение потенциальное, то для него обязательно соблюдается уравнение Бернулли. Пусть частица жидкости движется со скоростью, составляющие которой равны и, v, w. Составляющие угловой скорости W вращения связаны со скоростями и, v, w следующими соотношениями:

1 / dw dv\ I I ди dw\ \ (dv du\ /ос\

Для того чтобы все три составляющие угловой скорости были равны нулю, должны соблюдаться условия:

dv du f, du dw dw dv /na\

Предположим теперь, что массовая сила обладает потенциалом U, следовательно,

Х = - Y = - Z = - - дх ду dz

Далее предположим, что плотность зависит только от давления, иными словами, что жидкость однородная. В таком случае все три подинтегральных выражения в правой части равенства (33) могут быть проинтегрированы. Следовательно, производная от криволинейного интеграла вдоль жидкой линии между точками А и В, которые все время должны совпадать с соответствующими частицами жидкости, равна

Но если течение потенциальное, т. е. обладает потенциалом скоростей Ф, то

дх dz-

Подставляя эти выражения в равенства (36), мы получим:

дх \ду ) ду \ дх

Следовательно, равенства (36) тождественно выполняются, так как, если Ф есть функция координат, то всегда

д I дФ

д I дФ

дх уду J ду \dxj "

Умножим теперь уравнения Эйлера (13) соответственно на dx, dy, dz и сложим; мы получим:

>ру11 = X.. + y., + Z..-i 1.) , (37)

где для щ, щ, следует взять их выражения (12). Имея в виду усло-dt dt dt

вия (36), выражения (12) можно преобразовать следующим образом:

(38)

Предполагая, что массовая сила имеет потенциал U и что плотность зависит только от давления, и подставляя значения (38) в уравнение (37), мы получим:

dt dt

д f и + v + w дх

д (и + v- +w\ , . д fu+v + w ду[-2-ГУ+д-zi-2-

9Udx+W

dx + %y+%z дх ду dz

= 0.