Рассмотрим теперь, что происходит с очень маленькими замкнутыми жидкими линиями. Если эти линии лежат в области потенциального движения, то циркуляция вокруг них равна нулю. Если же они находятся внутри вихревой нити, то в общем случае циркуляция вокруг них не равна нулю, причем, согласно теореме Томсона, она все время остается постоянной. Отсюда непосредственно следует, что вихревая нить состоит все время из одних и тех же частиц жидкости. Так как количество движения и энергия самой вихревой нити малы по сравнению с количеством движения и энергией окружающего потенциального потока, то движение вихревой нити в основном управляется движением потенциального потока (см. ниже, пример первый). Правда, геометрически потенциальное движение можно свести к циркуляции вокруг оси вихревой нити, что для расчетов обычно удобнее. При таком представлении движение каждого элемента вихревой нити обусловливается влиянием всех остальных элементов нити, а все потенциальное движение вызывается вихревой нитью. Однако такое представление следует рассматривать только как геометрическое. С точки зрения энергетической преобладающее влияние на движение вихревой нити оказывает внешнее движение.

Формулы для расчета поля скоростей вокруг вихревых нитей, определенным образом расположенных, полностью совпадают с электродинамическими формулами, выражающими закон Био-Савара. Вихревые нити соответствуют электрическим проводникам, циркуляция - силе тока, поле скоростей - магнитному полю и угловая скорость вращения - плотности тока. Сила тока, подобно циркуляции, одинакова вдоль всего проводника, а плотность тока обратно пропорциональна площади его поперечного сечения. Для вихревой нити, согласно формуле (32) §9, при sina = 1 циркуляция равна

Г = 2wF.

Следовательно, в тех местах, где поперечное сечение вихревой нити меньше, угловая скорость вращения больше, и наоборот. Такая же связь между F и W существует и во времени: если какой-либо отрезок вихревой нити вытягивается, то угловая скорость вращения возрастает обратно пропорхщонально поперечному сечению. При этом длина отрезка вихревой нити увеличивается также обратно пропорционально поперечному сечению, так как объем нити остается неизменным. Следовательно, угловая скорость вращения нити изменяется в точности пропорционально изменению длины отрезка нити.

Указанные факты и составляют основное содержание теорем Гельмгольца. Рассмотрим несколько примеров движения вихревых нитей.

а) Прямолинейные параллельные вихревые нити в жидкости, в остальных местах свободной от вращения. Как уже было сказано в § 11, вихревая нить с циркуляцией (или напряженностью) Г создает вокруг себя поле скоростей. В каждой точке этого поля скорость перпендикулярна к оси вихря и к радиусу г, соединяющему ось вихря с рассматриваемой точкой поля, а по абсолютной величине, согласно формуле (48), равна

2тгг

Если имеется несколько вихревых нитей, то отдельные поля скоростей налагаются друг на друга, и каждая вихревая нить принимает участие в том движении, которое возникает в занимаемом ею месте под действием других нитей. Так, например, в случае двух параллельных вихревых нитей обе они вращаются вокруг оси, параллельной осям обеих нитей. Для определения положения этой оси следует отложить вдоль осей обеих нитей отрезки, пропорциональные их напряженностям Г, и, рассматривая эти отрезки как силы, сложить их. Линия действия равнодействующей даст положение искомой оси. Отрезки, пропорциональные напряженностям Г, следует отложить в одну сторону, если оба вихря имеют циркуляции одного знака, и в разные стороны, если циркуляции вихрей противоположны. В первом случае ось вращения расположена между вихрями, а во втором случае - по одну сторону от них.

Две параллельные прямолинейные вихревые нити равной и противоположной по знаку циркуляции образуют пару вихрей (такое название дано по аналогии с парой сил). Пара вихрей совершает прямолинейное поступательное движение в направлении, перпендикулярном к кратчайшей прямой, соединяющей оба вихря, причем скорость движения равна

где d есть расстояние между осями вихрей. В системе отсчета, покоящейся относительно невозмущенной жидкости, картина линий тока вихревой пары имеет вид, изображенный на рис. 70. На рис. 71 показана та же картина линий тока в системе отсчета, движущейся вместе с вихревыми нитями. Часть жидкости, отмеченная на рис. 71 штриха-

Рис. 70. Линии тока пары вихрей в неподвижной системе отсчета

Рис. 71. Линии тока пары вихрей в системе отсчета, движущейся вместе с вихревыми ядрами

ми, остается все время около вихревых нитей. Это легко наблюдать, если окрасить жидкость в том месте, где возникает пара вихрей.

Для того чтобы взаимодействие прямолинейных параллельных вихревых нитей происходило в точности так, как указано выще, эти нити теоретически должны простираться в обе стороны до бесконечности или же они должны быть ограничены двумя параллельными стенками. Однако в последнем случае на движение вихревых нитей влияет трение, возникающее на стенках. Одна из параллельных стенок может быть заменена свободной поверхностью жидкости (следовательно, вторая стенка должна быть дном сосуда).

Ь) Круговые вихревые кольца. Такие вихревые нити вследствие своей кривизны получают поступательную скорость вдоль оси кольца, которая тем больше, чем тоньше вихревое ядро. Это явление может быть объяснено на основании теорем Гельмгольца как результат взаимодействия соседних элементов вихревой нити. Однако его можно объяснить также динамически как следствие поперечных сил, которые возникают под действием окружающей кольцо вращающейся жидкости (ср. с рассуждениями в § 11 по поводу обтекания крыла). Так как вихревое кольцо движется с довольно большой скоростью, то увлекаемая им жидкость часто также имеет форму кольца (кольца табачного дыма!), а не сплошного тела, как показано на рис. 71. Два вихревых кольца с общей осью, движущихся в одном направлении, взаимодействуют так, что переднее кольцо расширяется, а заднее, наоборот, суживается; вследствие этого поступательная скорость переднего кольца уменьшается, а заднего - увеличивается. Это приводит к тому, что заднее кольцо догоняет переднее и проскакивает сквозь него, после чего роль их меняется, и иг-