pa начинается снова. Два одинаковых вихревых кольца с общей осью, движущихся навстречу друг другу, по мере сближения все больше и больше увеличиваются в диаметре, но в то же время замедляют свое поступательное движение настолько, что друг до друга так и не доходят. Таким образом, центральная плоскость между обоими кольцами ведет себя подобно непроницаемой твердой стенке. По этой причине вихревое кольцо, приближающееся к твердой стенке, никогда ее не достигает.

с) Поверхности раздела, о которых шла речь в § 7, можно рассматривать как систему вих-

ревых нитей, распределенных вдоль поверхнос-

J-®-®--®-®--®-®- ти, причем оси вихревых нитей расположены перпендикулярно к направлению скачка скорос-"7 ти. в самом деле, из схемы, изображенной на рис. 72, видно, что система параллельных вих-Рис. 72. Вихревой слой ревых нитей формирует поток, который на некотором расстоянии от вихревых нитей имеет такое же поле скоростей, как и поток с поверхностью раздела. Наоборот, поверхности раздела, будучи неустойчивыми, легко распадаются на отдельные вихри, как это показано на рис. 41.

d) Вихри и связанное с ними циркуляционное потенциальное течение возникают всегда в результате образования поверхностей раздела. Все потенциальные течения являются результатом давления, передаваемого на жидкость ограничивающей ее стенкой или находящимся внутри нее телом. Циркуляционное течение возникает главным образом в том случае, когда внутри жидкости имеется поверхность, одна часть которой испытывает некоторое время давление, а другая, соседняя, часть не подвергается давлению. Примером может служить образование вихревого кольца около отверстия в стенке (рис. 45); стенка испытывает давление слева и отвечает равным противодействием, в то время как отверстие не подвергается давлению. Другим важным примером является движение крыла самолета, когда площадь, находящаяся непосредственно под крылом, некоторое время нагружена весом самолета, а продолжение этой площади за пределами крыла не подвергается в это время никакому давлению. В конце § 7 мы упомянули, что из поверхности раздела, возникающей позади крыла, образуются два вихря, сбегающие с концов крыла (см. рис. 46). Кроме того, в начальный момент движения, при разгоне крыла, образуется вихрь, изображенный на рис. 66. Этот начальный вихрь вместе с боковыми вихрями образует одну общую, обычно несколько размытую вихревую нить. Само

крыло с происходящей вокруг него циркуляцией, в точности равной циркуляции вокруг вихревой нити, замыкает всю систему, вследствие чего образуется своего рода вихревое кольцо, часть которого, правда, состоит из твердого тела (крыла). С кинематической точки зрения это надо понимать так, что часть вихревой нити проходит внутри твердого тела, вызывая снаружи его потенциальное течение с циркуляцией. Однако динамическая теорема Гельмгольца для этой части вихревой нити не имеет места; это вполне понятно, так как эта часть вихревой нити движется вместе с телом, и с концов ее к боковым вихревым нитям притекает все время новая жидкость. Количественное изучение таких вихревых движений дало возможность получить важные выводы, касающиеся поведения крыла в потоке жидкости (см. § 16 и 17 гл. III).

§ 13. Теорема о количестве движения и теорема о моменте количества движения для установившихся движений. Теоремы о количестве движения и о моменте количества движения, хорошо известные из общей механики, находят своеобразное применение к установившимся движениям жидкостей, а также к таким неустановившимся движениям, которые во времени могут рассматриваться в среднем как установившиеся. Ценность этих теорем состоит в том, что для их применения требуются только данные о состоянии потока на граничных поверхностях рассматриваемой области, но не внутри области; это позволяет получать из них выводы о таких гидродинамических явлениях, детали которых не могут быть полностью учтены.

Количеством движения массы, как известно из общей механики, называется произведение массы на скорость (количество движения есть векторная величина и имеет, как и всякий вектор, три составляющих). Согласно теореме о количестве движения изменение количества движения во времени, т. е. его производная по времени равна результирующей всех сил, приложенных к массе. Согласно теореме о моменте количества движения производная по времени от момента количества движения относительно какой-либо точки равна главному моменту относительно той же точки всех внешних сил, приложенных к массе. Применяя эти теоремы к системе материальных точек, необходимо иметь в виду (§2 гл. I), что внутренние силы, действующие внутри механической системы, при суммировании по всем массам системы на основании закона о равенстве действия и противодействия взаимно уничтожаются и что остаются только силы, обусловленные массами, не принадлежащими к системе, т.е. внешние силы.

При установившемся движении какой-либо ограниченной массы жидкости изменение ее количества движения возникает исключитель-

но вследствие перемещения ее границ. В самом деле, при установившемся движении каждая частица жидкости внутри выделенной массы заменяется на своем месте другой частицей, принимающей здесь скорость первой частицы. Поэтому для определения изменения количества движения достаточно выяснить только то, что происходит на границах выделенной массы жидкости. Для этой цели рассмотрим жидкую струйку, изображенную на рис. 73. Прежде всего заметим, что жидкая

струйка должна состоять все время из

..-•---одних и тех же частиц жидкости, так

----иначе нельзя будет основывать-

А В Wg ся на теореме общей механики о ко-

личестве движения системы. Следова-Рис. 73. Пояснение к теореме о тельно, во все время движения части-количестве движения цы жидкости, принадлежащие к жидкой струйке, не должны ее покидать, а частицы жидкости, не принадлежащие к ней, не должны в нее проникать. Это означает, что поверхности, ограничивающие выделенную массу жидкости, должны перемещаться вместе с жидкостью, т.е. они должны быть жидкими поверхностями. Таким образом, в нашей жидкой струйке ее концевые поперечные сечения должны перемещаться вместе с жидкостью, первоначально заключенной в жидкой струйке. Перемещение левого сечения А струйки приводит к переносу массы

drrii = pFAWAdt,

а перемещение правого сечения В - к переносу массы

dm2 = pFBWBdt.

В правых частях этих равенств Fa и Fb обозначают площади концевых поперечных сечений жидкой струйки, а wa и wb - скорости течения в этих сечениях. Вследствие неразрывности потока мы имеем:

dmi - dm2 - dm.

Полное изменение количества движения за время dt около сечения В равно dm • wb, следовательно, в единицу времени оно равно

dms = pFbwI.

Направление этого изменения количества движения совпадает с направлением скорости Wb- Изменение количества движения в единицу вре-