направления. Однако приводимый ниже расчет одинаково применим и к винту и к турбине. Теорему о количестве движения теперь следует применить для двух направлений - параллельного и перпендикулярного к плоскости, проходящей через соответственные точки крыльев (будем называть эту плоскость для краткости плоскостью решетки). Составляющие скорости в направлениях, параллельном и перпендикулярном к плоскости решетки, обозначим через и и v, а соответствующие составляющие силы реакции на единицу длины крыла - через X и Y, считая последние положительными в направлениях, указанных на рис. 78. Индексом 1 будем отмечать скорости и давления перед решеткой, а индексом 2 - позади решетки.

Предположим, что движение жидкости происходит без потерь энергии. Тогда мы будем иметь потенциальное движение с циркуляцией вокруг крыльев решетки. При таком движении скорость течения на некотором расстоянии впереди и позади решетки практически одинаковая. Это обстоятельство и позволяет применить теорему о количестве движения к выяснению связи между реакцией потока и скоростью течения, не прибегая при этом к анализу тех явлений, которые происходят в промежутках между крыльями, правда, при условии, что здесь не возникают большие вихри (это может иметь место при неудачной форме профиля крыльев). Уравнение неразрывности дает нам:

Q = Via = V2a,

где а есть расстояние между соседними крыльями и Q - секундное количество жидкости, протекающее между каждой парой крыльев в слое, параллельном продольной оси крыльев и имеющем толщину, равную единице. Отсюда следует, что

Vl = V2.

Поэтому в дальнейших вычислениях мы будем обе составляющие Vi и V2 обозначать просто через v. Так как результирующие скорости wi и W2 перед и позади крыла равны соответственно

wi = +v и = +v, to из уравнения Бернулли следует:

Pi + f(m?+w) =P2 + {ul+v),

P2-pi = iul-ul). (49)

---- - 2>

Для применения теоремы о количестве движения проведем контрольную поверхность, пересекающую плоскость рис. 78 по двум линиям тока, проходящим над и под крылом и отстоящим друг от друга на расстоянии а, равном расстоянию между крыльями, и по двум прямым длиной а, параллельным плоскости решетки (основания этой поверхности образованы двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми равно единице). Сквозь обе боковые части контрольной поверхности, образованные линиями тока, жидкость не протекает, следовательно, эти поверхности не дают составляющих изменения количеств движения. Далее, так как эти поверхности совершенно одинаковые, то распределение давления на них также совершенно одинаковое, а поэтому они не влияют на результирующую сил давления. Таким образом, необходимо вычислить только изменения количеств движения и силы давления, возникающие на частях контрольной поверхности, параллельных плоскости решетки. Масса жидкости, протекающая сквозь эти части в одну секунду, равна

pQ = pav.

Применяя теперь теорему о количестве движения к направлениям, параллельным осям X и у, мы получим:

X = О + pav(ui - U2), (50)

Y = а{р2 - Pl) + 0. (51)

Введем в эти формулы циркуляцию вокруг крыла. Для ее вычисления воспользуемся опять пунктирной линией на рис. 78. Так как верхняя и нижняя линии тока совершенно одинаковые и при вычислении циркуляции они обходятся в противоположных направлениях, то криволинейные интегралы вдоль них взаимно уничтожаются. Прямые участки контура при составлении циркуляции дают значения aui и -аиг, следовательно, циркуляция вокруг крыла равна

Г = а(и1-И2). (52)

Далее, имея в виду, что

и\-и\ = («1 - И2)(и1 -I- И2),

Пропорция

Y:X = : V,

вытекающая из формул (53) и (54), показывает, что равнодействующая сил X и У перпендикулярна к результирующей скорости

получающейся при геометрическом сложении скоростей ~ и v.

В этом легко убедиться, рассматривая соответствующие подобные треугольники на рис. 78. Обозначив равнодействующую сил X и У через R, мы можем вместо формул (53) и (54) написать одну формулу

R = qTw. (55)

Будем теперь увеличивать расстояние а между каждыми двумя соседними лопатками, сохраняя при этом циркуляцию Г = a{ui - U2) постоянной. Тогда разность скоростей (mi - U2) будет уменьшаться и в пределе, для а = оо со, она сделается равной нулю. Следовательно, на достаточном расстоянии перед и позади единственной оставшейся лопатки скорости потока будут совпадать, и поэтому среднюю скорость Vm можно принять рзвной скорости Wqo новозмущенного потока в бесконечности. Перейдем от системы отсчета, связанной с неподвижной лопаткой, к системе отсчета, связанной с потоком в бесконечности. В этой системе отсчета жидкость в бесконечности будет покоиться, а лопатка будет двигаться со скоростью -Woo- Обозначив эту скорость через У, мы получим из уравнения (55), что на единицу длины лопатки действует сила

R = pTV,

из уравнений (49) и (52) мы получим:

. , „Ui+U2

а[Р2 -Pi) = /эГ-2-

Таким образом, формулы (50) и (51) могут быть переписаны в следующем виде:

X=pTv, (53)

Г = ,Г. (54)