как всегда, реакция, направленная внутрь контрольной поверхности и действующая как дополнительное давление на стенки, ограничивающие жидкость.

Вычислим теперь составляющую количества движения опять вдоль оси X, но для участка контрольной поверхности, перпендикулярного к оси у. В промежуток времени dt через единицу площади контрольной поверхности проходит масса pvdt, но так как мы вычисляем составляющую количества движения вдоль оси х, то теперь количество движения, переносимое массой pvdt равно pvudt. Среднее значение этого количества движения за промежуток времени Т будет

j puv dt = рШ.

Для вычисления Ш перемножим u = u + uviv = v + v; мы получим:

UV =Ш + uv + uv + uv. Составляя среднее значение, мы найдем:

Ш = Ш + Ш + uv + uv. Так как й = v = О, то

puv = puv + puv. (58)

Следовательно, и в этом случае к количеству движения рШ потока в среднем установившегося, необходимо прибавить величину puv, представляющую собой среднее от количеств движения пульсаций. Величина puv может не быть равной нулю. В самом деле, если положительным пульсациям и соответствуют главным образом положительные пульсации v, а отрицательным пульсациям и - главным образом отрицательные пульсации v, то преобладающее число произведений uv будет положительным. Если же, наоборот, положительным пульсациям и соответствуют главным образом отрицательные пульсации v, а отрицательным пульсациям и - главным образом положительные пульсации v, то в этом случае преобладающее число произведений uv будут отрицательными. Таким образом, в обоих случаях среднее от произведений uv не будет равно нулю. Реакция, соответствующая количеству движения puv, направлена вдоль оси х, т.е. по

касательной к взятому участку контрольной поверхности, следовательно, эта реакция представляет собой не что иное, как касательное напряжение. Учитывая ее направление, мы можем написать:

т = -рйи. (59)

Остается выяснить еще следующий вопрос: не дает ли масса жидкости, заключенная внутри контрольной поверхности, какую-либо составляющую изменения количества движения. Легко видеть, что если скорость в каждой точке потока в среднем не изменяется, то пульсации этой скорости должны состоять из положительных и отрицательных отклонений, в сумме приводящихся к нулю. Следовательно, при осреднении по времени масса жидкости, заключенная внутри контрольной поверхности, не может дать изменения количества движения.

Таким образом, в потоках, в среднем установившихся, пульсации скорости обусловливают появление касательных напряжений, которые, как мы увидим в § 1 следующей главы, аналогичны касательным напряжениям, возникающим при движении вязких жидкостей. Полученные результаты будут нами использованы при изучении турбулентных течении (§ 4 гл. III).

§ 15. Волны на свободной по-"Т .-ТУ верхности жидкости. Волны, об-

разующиеся на свободной поверхности воды, приводят в движение соприкасающийся с ними воздух. В большинст-Рис. 80. Волновое движение ве случаев массой этого воздуха можно пренебречь по сравнению с массой жидкости. Тогда давление на свободной поверхности жидкости будет равно атмосферному давлению ро-Наблюдения показывают, что при простейшем волновом движении отдельные частицы свободной поверхности воды описывают траектории, приближенно совпадающие с окружностью. В системе отсчета, движущейся вместе с волнами со скоростью их распространения, волновое движение является, очевидно, установившимся движением (рис. 80). Пусть скорость распространения волн равна с, радиус окружности, описываемой частицей воды, расположенной на свободной поверхности, равен г, а период обращения этой частицы по своей траектории равен Т. Тогда в указанной системе отсчета скорость течения на гребнях волн будет равна

27гг

wi = с---,

= 4gr,

с=§. (60)

Радиус г в эту формулу не входит, следовательно, скорость распространения волн не зависит от высоты волн. При распростраении волн гребень волны продвигается за время Т на расстояние А, называемое длиной волны, следовательно,

А = сГ.

Исключая из равенств (60) и (61) период Т, мы получим:

Таким образом, для волн на поверхности воды скорость их распространения, в отличие от звуковых волн, сильно зависит от длины волны. Длинные волны распространяются быстрее, чем короткие. Волны с разной длиной могут налагаться друг на друга без заметного взаимного возмущения. При этом короткие волны как бы приподнимаются длинными волнами, но затем длинные волны уходят вперед, а короткие остаются позади них. Линии тока в системе отсчета, неподвижной относительно невозмущенной воды, показаны на рис. 81. Из расположения линий тока видно, что скорость движения воды очень быстро убывает с увеличением глубины, а именно, пропорционально уменьшению

27r(zi-z)

величины е , следовательно, на глубине, равной длине волны, скорость составляет только Yggo скорости на свободной поверхности.

а во впадинах волн

Так как разность высот между наивысшим и наинизшим положениями точек свободной поверхности равна h = 2г, то, применяя уравнение Бернулли к линии тока, расположенной на свободной поверхности, мы получим:

wl-wl = 2gh = 4gr, или, после подстановки вместо v)2 и v)i их значений,

87гсг

откуда следует, что