Глава 3

Движение вязких жидкостей

§ 1. Вязкость (внутреннее трение). Все реальные жидкости обладают определенной вязкостью, которая проявляется в виде внутреннего трения при деформации. Некоторые жидкости, например, мед, глицерин, тяжелые масла и др., обладают особенно большой вязкостью. Для того чтобы понять, в чем заключается сущность вязкости, рассмотрим следующий простой пример. Пусть между двумя параллельными пластинками находится жидкость и пусть одна из этих пластинок

(верхняя) движется в своей плоскости У со скоростью у, а другая (нижняя) -

покоится (рис. 90). Тогда под действием вязкости в жидкости устанавливается такое состояние движения, при котором слои, непосредственно прилегающие к пластинкам, имеют одинаковую с ними скорость («прилипают» к пластинкам), а промежуточные слои скользят друг по другу и обладают скоростями и, пропорциональными расстоянию от неподвижной пластинки. Следовательно, скорость

2 ШтШт/777777Ш.

Рис. 90. Движение вязкой жидкости между двумя пластинками

слоя, находящегося на расстоянии у от нижней пластинки, равна

где а есть расстояние между обеими пластинками. Трение жидкости проявляется при этом в виде силы, оказывающей сопротивление движению верхней пластинки. Эта сила пропорциональна градиенту скорости жидкости, т.е. изменению скорости, происходящему на единице длины в направлении, перпендикулярном к плоскости пластинок. Величина силы сопротивления, приходящаяся на единицу площади пластинки, называется касательным напряжением. На основании сказанного касательное напряжение равно

г = р-,

Движение вязких жидкостей или, в более общей формулировке,

У dy

Величина называется коэффициентом внутреннего трения жидкости, или коэффициентом вязкости, или, наконец, просто вязкостью. На существование соотношения (1) первое указание имеется у Ньютона, и поэтому оно часто называется законом трения Ньютона.

1 У 2

Рис. 91. Движение вязкой жидкости в трубе

При некоторых движениях вязкой жидкости ее слои скользят один по другому, не перемешиваясь между собой. Такие движения называются ламинарными. Для исследования нескольких простых случаев ламинарного движения вполне достаточно соотношения (1). Одним из таких случаев является движение в прямолинейной трубе с круглым поперечным сечением. Выделим между сечениями трубы 1 и 2 жидкий цилиндр радиуса у (рис. 91). Пусть давление в сечении 1 равно pi, а в сечении 2 оно равно р2. Тогда на жидкий цилиндр действует сила {pi -Р2)ТГУ.

Этой силе противодействует сила трения на боковой поверхности цилиндра, величину которой на единицу площади, т.е. касательное напряжение, обозначим по-прежнему через т. Следовательно, на всю боковую поверхность жидкого цилиндра действует сила 2ку1т.

Приравнивая обе силы, действующие на цилиндр, мы получим:

Р1-Р2 У

Обозначение вязкости буквой р, принятое в гидромеханике, введено английскими учеными. Физики обычно обозначают вязкость буквой Г). Размерность вязкости есть ML~T~. Обозначение касательного напряжения символом Ху имеет целью показать, что рассматривается напряжение X, действующее на площадке, нормаль к которой параллельна оси у.

От латинского слова lamina - слой.

Q = J2nydy.u=f.P-. (4)

Эта формула может быть проверена путем опыта с очень большой точностью; поэтому она сыграла весьма большую роль при установлении законов движения вязкой жидкости. Между прочим, она позволяет по измеренным значениям расхода Q и разности давлений pi - р2 очень точно определить коэффициент вязкости р. Согласно формуле (4) расход жидкости пропорционален падению давления на единице длины трубы и четвертой степени радиуса трубы. Это соотношение экспериментально было установлено Г. Гагеном в 1839 г., а затем вторично, независимо от Гагена, Пуазейлем. Обычно оно называется законом Пу-азейля, так как статья Гагена, который был инженером, по-видимому, осталась незамеченной среди физиков. Правильнее называть соотношение (4) законом Гагена-Пуазейля. Забегая вперед, отметим, что закон Гагена-Пуазейля соблюдается при малых скоростях только в узких

iHagen G., Poggendorffs Annalen, т. 46 (1839), стр. 423.

Poiseuille, Comptes Rendus, т. 11 (1840); т. 12 (1841), Mem. des Savants Etrang., T. 9 (1846).

Из соотношения (1) мы имеем:

du т dy Р-

Подставляя сюда вместо г его выражение из равенства (2) и имея в виду, что теперь, в отличие от случая движения на рис. 90, производная Ак отрицательна, мы получим:

du Pl -Р2 У dy pl 2

Интегрируя это уравнение и определяя постоянную интегрирования из условия, что самый внешний слой жидкости прилипает к стенке, мы найдем:

. = (3)

где г есть радиус трубы. Количество протекающей через трубу в единицу времени жидкости (так называемый расход жидкости) равно