Stokes G.G., On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums. Trans. Cambridge Phil. Soc, m. 9 (1850), стр. 8; также в Math, and Phys. Papers, T. Ill, стр. 55.

§ 3. Движение тел в вязких жидкостях. Формула Стокса. Пограничный слой. Математическое изучение движения тел в вязкой жидкости сопряжено со столь большими трудностями, что до сих пор такому изучению оказались доступными только предельные случаи, а именно, случай очень большой вязкости, т.е. очень малого числа Рейнольдса, и случай очень малой вязкости, т.е. очень большого числа Рейнольдса.

Если в потоке преобладают силы вязкости, что имеет место, с одной стороны, в очень вязких жидкостях (например, в моторном масле), а с другой стороны, также в обычных жидкостях при весьма малых размерах, определяющих движение, то можно пренебречь силами инерции по сравнению с силами вязкости и считать, что перепад давления и силы трения, приложенные к любой части жидкости, уравновешивают друг друга. Согласно сказанному в § 2, в геометрически подобных потоках силы трения, отнесенные к единице объема, пропорциональны Так как силы давления уравновешиваются с силами трения, то и они должны быть пропорциональны Следовательно, в рассматриваемом

случае геометрическое подобие влечет за собой всегда и механическое подобие. Так как сравниваемые объемы относятся как 1, то полные силы сопротивления относятся как произведения /ivl.

Для некоторых тел простой формы удалось произвести расчет потока и определить сопротивление при движении тела. Наиболее известным является решение Стокса для движения шара. Для величины сопротивления W Стоке получил формулу

W = Qniiva, (10)

где а есть радиус шара, а v - скорость его движения. Эта формула, называемая формулой Стокса, имеет важное значение для расчета падения маленьких капель. Так как в этом случае сопротивление следует принять равным весу капли за вычетом поддерживающей силы, то мы можем написать:

Gwiiva = (pi - p2)ga

где pi есть плотность падающей капли, а р2 - плотность окружающей среды. Отсюда мы получаем скорость падения:

-.«- (")

Эта формула применима только для таких движений, при которых число Рейнольдса мало по сравнению с единицей. Для падения водяных капель в воздухе формула (11) принимает вид:

V = 1,3

причем а следует брать в сантиметрах. Из условия, что R = < 1, получается, что формула (11) верна только для капель, радиус которых меньше 0,01 мм. Из таких капель состоит туман.

Движения жидкости, при которых число Рейнольдса меньше единицы, называются ползущими течениями.

При движениях с очень большими числами Рейнольдса влияние трения делается совершенно ничтожным. Такие движения совпадали бы с движениями жидкости без трения, рассмотренными в §4-12 гл. II, если бы не было условия прилипания к стенкам, которому жидкость, лишенная трения, не может удовлетворять. Более детальное исследование показывает, что жидкость, обладающая малым трением, при движениях с большими числами Рейнольдса ведет себя вдали от стенок совершенно так же, как жидкость, лишенная трения; но около стенок она образует вследствие трения тонкий пограничный слой, в котором скорость изменяется от значения, соответствующего движению без трения, до значения, соответствующего условию прилипания. Пограничный слой тем тоньше, чем меньше вязкость. Так как внутри пограничного слоя в направлении, перпендикулярном к движению, скорость изменяется довольно быстро, то даже при очень малой вязкости здесь получаются такие силы трения, которые сравнимы с силами инерции и поэтому не могут быть отброшены, как вдали от стенок, где они ничтожно малы по сравнению с силами инерции.

Иа рис. 92 показано распределение скоростей в пограничном слое. Если толщина пограничного слоя представляет собой величину порядка 8, а размер тела в направлении течения - величину порядка I, то сила трения на

/, Рис. 92.

единицу объема, равная, согласно сказанному

в конце § 1, р-\ (направление у нормально ду

Распределение

скоростей вблизи стенки к поверхности тела), будет иметь порядок ,

а сила инерции на единицу объема, как и раньше, - порядок Так как в пограничном слое обе эти силы представляют собой величины од-

ного и того же порядка, то величины и пропорциональны друг другу, т. е.

Iv pv

(знак ~ означает «пропорционально»), откуда получается формула:

дающая оценку для толщины пограничного слоя.

Рис. 93. Течение вдоль пластинки

Этот же результат можно получить, применяя теорему о количестве движения к потоку вдоль плоской пластинки. Пусть пластинка имеет длину / и ширину Ь; скорость течения пусть равна w и, наконец, толщина пограничного слоя пусть приближенно равна S (рис. 93). Тогда масса, входящая за одну секунду в пограничный слой, будет пропорциональна величине pbSw. Эта масса, вступающая в пограничный слой со скоростью W, теряет здесь некоторую долю своей скорости, что приводит к соответствующей потере количества движения, которая будет пропорциональна величине pbSw. Изменение количества движения должно быть равно силе, действующей на жидкость вследствие трения

около стенки. Эта сила, согласно равенству (1), пропорциональна 1Ь-ц,

следовательно,

pbSw ~ Ibpi, о

откуда по-прежнему получаем:

I р1