wl Tr

Таким образом, отношение у является функцией только числа Рейнольдса. Такая зависимость имеет место для всех пограничных слоев с установившимся движением.

В формулу (12) можно ввести время t, которое требуется отдельным частицам жидкости для того, чтобы пройти вдоль тела. Для частиц, двигающихся не слишком близко от поверхности тела, этот промежуток времени пропорционален , поэтому формулу (12) можно переписать в следующем виде:

8 ~ v. (13)

Формулу (13) можно применять также к движениям, которые только что начались из состояния покоя. В этом случае из нее следует, что толщина пограничного слоя возрастает в первый период движения пропорционально корню квадратному из времени.

Итак, всякое тело, движущееся в жидкости, обладающей небольшим трением, увлекает за собой тонкий слой жидкости. Такой же тонкий слой образуется и при движении жидкости в коротком канале около его стенок, но теперь этот слой отстает от общего потока жидкости. В длинных каналах пограничный слой постепенно, по мере удаления от входа в канал, увеличивается в толщине [согласно формуле (12) пропорционально корню квадратному из расстояния от входа] и в конце концов заполняет весь просвет канала. Это означает, что в длинных каналах влияние трения распространяется на все поперечное сечение. Такое увеличение толщины пограничного слоя во многих случаях происходит значительно быстрее, чем это следует из формулы (12); причиной этого является процесс перемешивания жидкости, называемый турбулентностью (см. §4).

Касательные напряжения, возникающие на стенке при ее обтекании (рис. 92), складываясь по всей поверхности стенки, дают сопротивление трения. Для случая пластинки, обтекаемой жидкостью с двух сторон (рис. 93), легко получить приближенную оценку величины этого сопротивления. В самом деле, касательное напряжение равно

г = /., ду

См. в связи с этим сказанное на стр. 228.

следовательно, имеет место пропорциональность

или, на основании формулы (12),

Если ширина пластинки равна Ь, то полная площадь соприкосновения с потоком будет F = 2Ы. Умножая эту площадь на г, мы получим искомое сопротивление:

W 2Ы - т = число • (14)

Подробнее о сопротивлении пластинок будет сказано в §5 (стр. 180).

В существовании пограничного слоя можно убедиться при помощи следующего простого опыта. Поместим в не слишком быстрый поток воды какое-нибудь тело (пластинку, цилиндр, щар и т. п.) и подведем через заостренную стеклянную трубочку немного окрещенной жидкости к какому-нибудь месту обтекаемого тела. Убрав трубочку, мы увидим, что около поверхности тела еще долгое время остается тонкий окрашенный слой жидкости. Очевидно, что этот слой возникает вследствие прилипания частиц окрашенной жидкости к поверхности тела.

Математическое дополнение. Движение жидкости в пограничном слое может быть исследовано при помощи точных математических приемов. Как уже было сказано, в жидкости с исчезающе малой вязкостью пограничный слой получается очень тонким. Поэтому вполне допустимо внутри пограничного слоя пренебрегать разностью давлений в различных точках нормалей к стенке. В противоположность этому разности скоростей в отдельных точках нормалей весьма значительны, так как переход от скорости слоя, прилипающего к стенке, к скорости потока за пределами пограничного слоя совершается на очень коротком отрезке. Ввиду этого в выражении (7)

и р9

дх dz

(мы предполагаем, что ось х проведена в направлении потока, а ось у - в направлении нормали).

Для двухмерного потока можно пренебречь также кривизной пограничного слоя и поэтому считать, что координата х совпадает с длиной дуги линии

для силы трения, отнесенной к единице объема, члены м- и м- будут

""х dz

значительно меньше члена А* и, следовательно, могут быть отброшены

ду Рдх

как это следует из уравнения (15) после подстановки в него значений и = О, V = Q. Рещение этой системы уравнений может быть получено путем разложения в ряд. Для случая пластинки коэффициент пропорциональности в формуле (12) получается равным 3, 012, поэтому приближенно можно положить, что

(18)

§4. Турбулентность, а) В § 1 мы вывели закон Гагена-Пуа-зейля, согласно которому при течении вязкой жидкости в круглой трубе падение давления пропорционально расходу жидкости [формула (4)]. Там же мы упомянули, что закон Гагена-Пуазейля имеет место для движения в очень узких трубках при любых практически возможных скоростях, а для движения в широких трубах - только при малых

В1 а S i U S Н ., Uber Grenzschichten in Flussigkeiten bei sehr kleiner Reibung, Zeitschr. f. Math. u. Phys., т. 56 (1908), стр. 1; см. также То 11mien, Handb. der Exp.-Phys., T. IV, часть 1 стр. 239; Durand, Aerodynamic. Theory, т. Ill, стр. 80 [имеется в переводе на русский язык: Аэродинамика под общ. редакцией В. Дюрэнда, 1939. (Прим. пер.)]

Теория пограничного слоя получила значительное развитие благодаря работам советских ученых; см., например: Дородницын А. А., Пограничный слой в сжимаемом газе. Прикл. мат. и мех., т. VI (1942), №6;КочинН.Е. и Лойцян-ский Л. Г., Об одном приближенном методе расчета ламинарного пограничного слоя. Докл. АН СССР, т. XXXVI (1942), №9;ЛойцянскийЛ.Г., Приближенный метод расчета турбулентного пограничного слоя на профиле крыла. Прикл. мат. и мех., т. IX (1945), № 6; см. также Лойцянский Л. Г., Аэродинамика пограничного слоя. Ленинград, 1941. (Прим. пер.)

тока вдоль стенки. В таком случае для движения жидкости в пограничном слое получается следующая система диференциальных уравнений:

ди , ди.ди idp ди

i + = 0, (16)

причем давление р следует рассматривать как функцию от а; и i, определяемую внещним потоком, т. е. потоком, лежащим вне пограничного слоя. На стенке имеют место граничные условия:

и = О, V = 0.

Кроме того, на стенке

ди 1 др