г = рР f. (22)

ду ду

Эта формула, как уже упоминалось, является приближенной. Она показывает, что дополнительные напряжения, возникающие вследствие турбулентного перемешивания, изменяются при изменении скорости пропорционально ее квадрату. Наблюдения показывают, что все гидравлические сопротивления в основном подчиняются этому закону.

Длина /, которую мы будем называть длиной пути перемешивания, имеет некоторое родство с длиной li пути свободного пробега молекул в кинетической теории газов. В этой теории перенос количеств движения, вызванный молекулярным движением, рассматривается совершенно так же, как это мы только что сделали для переноса количеств движения, вызванного грубым (молярным) движением жидких шариков. Отклонение скоростей молекул газа, входящих в рассматриваемый слой снизу и сверху, от средней скорости во времени, как и в нашем случае, равно

; 1 дй ду

Однако скорость v поперечного переноса молекул газа равна скорости молекулярного движения, а не пропорциональна и, как в нашем случае. Вследствие этого касательные напряжения, вызываемые молекулярным движением и уже известные нам как напряжения вязкости, пропорциональны первой степени величины Длина h пути свободного пробе-

га молекул газа обратно пропорциональна плотности, поэтому вязкость газа, величина которой определяется произведением pli, не зависит от плотности.

По поводу баланса энергии турбулентного потока заметим следующее. Система дополнительных напряжений и соответствующих разностей давлений совершает в выделенной области жидкости работу, необходимую для

пока неопределенной. Следовательно, мы будем иметь:

Наконец, для того чтобы эта формула давала для положительного

положительное касательное напряжение, а для отрицательного -

отрицательное касательное напряжение, перепишем ее в следующем виде:

(duY „ диdv

Следовательно, если ввести в рассмотрение длину А, являющуюся размером наименьшего вихря, то секундную работу, отнесенную к единице объема, можно принять равной

г= число

где через и обозначена для краткости величина л/ и. Согласно результатам, полученным выше, можно принять:

ри .

Отсюда следует, что

Наконец, полагая

мы получим:

fduS

Уду)-

х = М.

Эта формула по своей структуре совпадает с соотношением, выведенным ниже в § 5, п. g) для другого турбулентного процесса, с той только разницей, что в то соотношение вместо величины и входит величина д, а вместо I - величина L.

Обозначив первые три множителя правой части формулы (22) одной буквой А, мы сумеем переписать ее в следующем виде:

т = А.

поддержания внутри этой области (а в случае необходимости - ив соседних областях) турбулентного движения. В рассмотренном простом случае секундная работа, отнесенная к единице объема, равна

Эта работа и делает возможным дальнейшее существование завихренного движения, несмотря на действие вязкости; в конце концов вследствие действия вязкости она превращается в теплоту. Та часть кинетической энергии единицы объема жидкости, которая превращается в единицу времени в теплоту, определяется функцией рассеяния, состоящей из ряда членов вида:

Q = -CppV

дй . М

ду ду рду-

Величина cAq называется коэффициентом турбулентной теплопроводности. В случае, когда в потоке имеется химическая или механическая примесь с концентрацией с, при турбулентном перемешивании

Впервые понятие турбулентной вязкости в виде величины р£ встречается уЖ. Буссинескав его работе Theorie de 1 ecoulement tourbillonant (Paris, 1897).

Эта формула по своей структуре формально совпадает с формулой

ди ду

для вязкого напряжения. Таким образом, величина

А = р1Щ (23)

имеет размерность вязкости. Однако численное значение величины А превышает численное значение коэффициента вязкости обычно в десятки и даже сотни тысяч раз. Величина А называется турбулентной вязкостью. Кроме численного значения, она отличается от обычной вязкости еще тем, что она изменяется при переходе от одной точки потока к другой; в частности, при приближении к стенке она стремится к нулю.

е) Турбулентное перемешивание влечет за собой, кроме переноса количеств движения, также перенос всех других «субстанций», содержащихся в движущейся жидкости, например тепла, разных примесей и т. п. Если содержание, например, примеси, не одинаково в различных точках пространства, то части жидкости, движущиеся из мест с более высоким содержанием, уносят отсюда больше примеси; чем сюда поступает с частями жидкости, движущимися из мест с менее высоким содержанием. В результате в среднем получается перенос примеси из мест с высоким ее содержанием в места с низким содержанием. В случае разностей температур такой перенос представляет собой своего рода турбулентную теплопроводность, в случае разности концентраций - своего рода турбулентную диффузию. Так как теплосодержание в единице массы жидкости равно ci?, где •& есть темпераура, то из сказанного следует, что при турбулентном перемешивании в единицу времени и на единицу площади происходит перенос тепла, равный