Первый член играет роль только на очень малых расстояниях от стенки, на более же далеких расстояниях преобладающую роль играет второй член. Однако при сколько-нибудь значительных числах Рейнольдса второй член во много раз больше первого также вблизи стенки; в этом случае, как уже упоминалось, первым членом можно пренебречь. Отбрасывая его и извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения (24), мы получим:

Из структуры правой части этого уравнения сразу видно, что величина W имеет размерность скорости. Поэтому для сокращения записи

действительных потоках касательное напряжение т, как правило, непрерывно уменьшается при удалении от стенки (в трубе на оси т = 0). Однако формулы, полученные на основе предположения, что т = const = Тст дают все же весьма хорошее приближение к действительности. Ото объясняется тем, что основная часть изменения скорости происходит непосредственно около стенки или вблизи нее. Для труб формулы (28) и (32), которые будут выведены ниже, весьма точно оправдываются почти до самой оси трубы, так как длина I пути перемешивания при удалении от стенок становится меньше величины ху (см. ниже).

где Тст есть касательное напряжение на стенке. При более высоких числах Рейнольдса, когда внутри жидкости происходит интенсивное перемешивание, касательное напряжение Тст получается весьма большим, вследствие чего возрастание величины происходит необычай-

но быстро и, следовательно, ламинарный пограничный слой получается очень тонким. Поэтому при наблюдении турбулентных течений на первый взгляд кажется, что конечная скорость течения имеет место уже на самой стенке.

Для теоретического исследования соотношений, существующих при турбулентном движении вдоль стенки, проще всего принять, что во всем потоке касательное напряжение имеет постоянное значение.

Если оно положительно, то положительна также величина поэтому

в формуле (22) можно отбросить черточки, обозначающие абсолютное значение. Тогда полное касательное напряжение, получающееся от сложения среднего вязкого напряжения и дополнительного касательного напряжения, возникающего вследствие турбулентности, будет равно

будем обозначать ее одной буквой и называть динамической скоростью. Согласно сказанному в § 4, динамическая скорость имеет порядок величины турбулентных пульсаций и и v (точнее, г)* = ij\uv\). При сделанном выше предположении о постоянстве т величина также является постоянной.

Пусть рассматриваемый поток ограничен двумя гладкими стенками, из которых одна совпадает с плоскостью у = О и безгранично простирается в обе стороны оси х, а вторая находится на таком расстоянии от первой, что совершенно не влияет на состояние течения вблизи нее, следовательно, вторую стенку можно считать удаленной от первой на бесконечное расстояние. Тогда скорость й будет зависеть только от у,

поэтому вместо можно писать кроме того, мы не будем ставить

черты над и, так как в дальнейшем о пульсациях не будет речи.

Теперь нам необходимо сделать правильное, с точки зрения размерности, предположение о зависимости длины пути перемешивания / от факторов, определяющих поток. Допустим, что вязкость не оказывает никакого влияния на величину / (это подтверждается результатами наблюдений); тогда единственной правильной, с точки зрения теории размерностей, формулой для / будет

I = >fy,

где к есть безразмерное число. Для рассматриваемой задачи о турбулентном движении это число является существенной (универсальной) постоянной. Подставляя I = ку ъ уравнение (25), мы получим:

V.=yf, dy

откуда, принимая во внимание, что = const и интегрируя, найдем:

U = v.(\ny + C). (26)

При больших числах Рейнольдса такой закон изменения скорости хорошо согласуется с наблюдениями, которые для числа к дают значение 0,417. Правда, при у = О формула (26) дает для и значение -оо вместо действительного значения О, однако это вполне понятно, так

как в наших приближенных вычислениях мы пренебрегли членом А*-

в уравнении (24), в то время как именно этот член играет преобладающую роль вблизи стенок. Если бы мы сохранили в наших вычислениях

Постоянную интегрирования С удобнее заменить другой постоянной, учтя при этом то обстоятельство, что в непосредственной близости от стенок играет роль вязкость. Очевидно, что выражение в скобках в правой части формулы (26) должно быть безразмерным числом, и это число не должно зависеть от применяемой системы единиц. Для того чтобы придать этому выражению безразмерный вид, необходимо вычесть из In у логарифм упомянутой выше длины следовательно, необходимо принять, что

Тогда число Ci будет второй универсальной постоянной. Подставляя найденное значение С в формулу (26), мы получим:

« = ..(iln + C7i). (27)

Так как скорость быстрее всего изменяется в непосредственной близости от стенок, то, подставляя в формулу (27)

МЫ сделаем ее пригодной для приближенных вычислении также в тех случаях, например, при движении в трубах, когда касательное напряжение т изменяется вместе с расстоянием у от стенки. Как показывают измерения, получающиеся результаты довольно хорошо совпадают с действительными значениями скорости.

Если в этих случаях откладывать измеренные значения как ординаты, а значения logg jr - абсциссы, то все полученные точки расположатся вдоль или вблизи некоторой прямой. Составляя уравнение этой прямой, можно определить значения >f и Ci. Никурадзе, обработав таким путем свои измерения, выполненные в прямых трубах

Nikuradze J., Gesetzmassigkeiten der turbulenter Strmung in glatten Roiiren, VDI-Forschungsheft № 356 (1932). [Имеется в переводе на русский язык в сборнике «Проблемы турбулентности», Москва, 1936. (Прим. пер.)]

этот член, то, составляя выражение для длины пути перемешивания Z, мы должны были бы включить в нее еще второе слагаемое - длину

Р V