§ 10. Равновесие жидкости в других силовых полях.

В § 6-9 мы предполагали, что жидкость или газ находится в однородном поле тяжести, т.е. в таком поле, в котором ускорение свободного падения везде одинаково по величине и направлению. Это предположение достаточно хорошо оправдывается в пределах небольшой области и поэтому вполне допустимо для большинства приложений. Но если рассматриваются большие области, линейные размеры которых нельзя считать малыми по сравнению с радиусом Земли, то необходимо учитывать, что ускорение свободного падения не остается постоянным по величине и направлению во всей области. Другим примером, когда поле сил нельзя считать однородным, является равномерное вращение жидкости вместе с заключающим ее сосудом. В этом случае жидкость покоится относительно сосуда, но для того, чтобы рассматривать задачу как статическую, необходимо в каждой точке занимаемого жидкостью пространства прибавить к ускорению свободного падения ускорение, соответствующее центробежной силе. Поэтому рассмотрим в общей форме вопрос о равновесии однородной или неоднородной жидкости в произвольном силовом поле, в котором сила на единицу массы, т. е. ускорение, изменяется от места к месту как по величине, так и по направлению.

Выделим в жидкости маленькую призму с осью, перпендикулярной к направлению силы, и рассмотрим условие ее равновесия относительно перемещений, направленных параллельно оси. При помощи таких же рассуждений, как и в § 6, мы легко установим, что в любом направлении, перпендикулярном к направлению рассматриваемой силовой линии, давление не может изменяться. Далее из рассмотрения равновесия маленькой призмы с осью, параллельной направлению силы, мы найдем, что давление в направлении силы должно возрастать на величину

dp = gpdh, (14)

где dh есть высота призмы, а g - напряженность силового поля. Если взять всю совокупность направлений, перпендикулярных к силовой линии в какой-нибудь ее точке, то она выделит около рассматриваемой точки элементарную площадку, нормальную к силовой линии. Из первого нашего заключения следует, что на каждой такой площадке давление имеет постоянное значение. В том случае, когда такие площадки, примыкающие друг к другу, образуют поверхность конечных размеров, т.е. когда силовое поле обладает так называемыми ортогональными поверхностями, из предыдущего следует, что давление имеет

постоянное значение во всех точках каждой ортогональной поверхности. Если же силовое поле не имеет ортогональных поверхностей, то равновесие жидкости в нем невозможно.

Предположим, что силовое поле обладает ортогональными поверхностями, и рассмотрим две такие поверхности, давление на которых пусть равно р ир + dp (рис. 18). Выберем на первой ортогональной поверхности две точки 1 и 2, через которые проходят силовые линии gl и g2. Пусть в точках 1 и 2 плотность равна pi и р2. Согласно формуле (14) мы имеем:

dp = giPidhi, dp = g2P2dh2.

Если мы имеем однородную жидкость (§6), то плотность р постоянна во всей жидкости и из обоих равенств следует:

Рис. 18. Неоднородное силовое поле

gidhi = gidhi.

Если же мы имеем однородный газ (§7), то плотность р есть функция давления р; но так как на ортогональной поверхности pi = р2 = const, то необходимо должно быть, что на этой поверхности pi = р2 = const, поэтому мы опять получим, что

gidhi = g2dh2.

Произведение gdh есть не что иное, как работа, совершаемая силой поля при переходе от одной ортогональной поверхности к другой. Согласно полученному нами результату эта работа имеет одинаковое значение в любом месте между обеими поверхностями уровня. Это показывает.

этом случае петлеобразная линия, проведенная перпендикулярно к силовым линиям, при возврате к исходной силовой линии попадает не в ту точку, из которой она была начата, а ниже или выше ее, в зависимости от направления обхода. Такое силовое поле можно построить, например, следующим образом: приведем две параллельные между собой плоскости и соединим их друг с другом при помощи семейства прямых, перпендикулярных к обеим плоскостям, следовательно между собой параллельных. Затем немного повернем одну из плоскостей относительно другой вокруг одной из проведенных прямых. Тогда все остальные прямые примут винтообразное расположение. Рассматривая их как силовые линии, легко убедиться, что полученное силовое поле не имеет ортогональных поверхностей.

Ua-Ub =

В обоих рассматриваемых случаях (однородная жидкость и однородный газ) правую часть уравнения (17) можно вычислить, и мы получим давление непосредственно как функцию потенциала. Подводя итог полученным результатам, мы можем сказать:

Однородная жидкость или однородный газ может находиться в равновесии только в таком силовом поле, которое обладает потенциалом. Поверхности равного потенциала, ортогональные к силовым линиям поля, одновременно являются поверхностями равного давления. Давление возрастает в том направлении, в котором действует сила поля, причем увеличение давления равно dp = -pdU.

В неоднородной жидкости возможен такой случай, когда gidhi ф ф gdh, но зато плотность распределена так, что везде имеет место равенство

Pigidhi = P2g2dh2.

Однако легко видеть, что такое равновесие является неустойчивым. В самом деле, достаточно небольшого перемещения жидкости вдоль ортогональной поверхности (такое перемещение не требует затраты работы), чтобы сейчас же изменить распределение плотности, и следовательно, нарушить равновесие. Для устойчивого равновесия неоднородной жидкости по-прежнему необходимо, чтоб gidhi = g2dh2, т.е. жид-

что рассматриваемое нами силовое поле обладает потенциалом, следовательно, ортогональные поверхности являются поверхностями равного потенциала. Обозначив потенциал в какой-нибудь точке А через U, мы будем иметь:

dU = -gdh. (15)

Знак минус взят потому, что в уравнении (14) мы приняли dh положительным в направлении g. Заменяя gdh в уравнении (14) его значением из уравнения (15), мы получим:

dp = -pdU,

dU = -, (16)

откуда после интегрирования следует, что