заметим, что величина этой

ставляющая w, направленная вниз перпендикулярно к скорости v и измеренная непосредственно около крыла составляющей различна около различных точек крыла, поэтому в дальнейшем мы будем иметь в виду ее среднее значение). Вследствие наличия скорости W (рис. 165) поток около крыла отклоняется вниз в среднем на угол, определяемый из соотношения

Результирующая сила сопротивления, согласно сказанному выше, перпендикулярна к направлению отклоненного потока и поэтому при разложении дает две составляющие: подъемную силу А, перпендикулярную к направлению движения крыла, и сопротивление

Рис. 165. Возникновение индуктивного сопротивления

Wi = Atgip = A,

(91)

направленное против движения крыла. Задача теории крыла состоит в том, чтобы определить вызванную крылом скорость w.

Мы решим здесь эту задачу в предположении, что подъемная сила А достаточно мала, и поэтому отклонение набегающего потока от первоначального направления также невелико. Такое предположение значительно упрощает задачу, так как позволяет во всех вычислениях сохранить только величины самого низкого порядка малости. В частности, при рассмотрении углов, образуемых линиями тока относительного течения с направлением движения, можно вместо синуса и тангенса брать дугу, а косинус считать равным единице.

Для определения поля скоростей, вызванных крылом, заменим последнее и сбегающую с него поверхность раздела системой вихрей. Подъемная сила всегда связана с циркуляцией, а именно, согласно теореме Жуковского, которая применима и здесь, подъемная сила на единицу длины равна

А = pTv,

где Г есть циркуляция (см. § 11 и 13 гл. II; другой вывод этого соотношения будет дан на стр. 289). Следовательно, крыло действует на

Рис. 166. Упрощенная система вихрей, заменяющих крыло

Рис. 167. Уточненная система вихрей, заменяющих крыло

части жидкости, более или менее удаленные от него, как отрезок вихревой нити с напряженностью (циркуляцией) Г. Однако к этому вихрю, заменяющему собой крыло, теорема Гельмгольца о том, что вихрь состоит все время из одних и тех же частиц жидкости, неприменима. Поэтому такой вихрь принято называть несущим вихрем, в отличие от свободного вихря, удовлетворяющего теореме Гельмгольца.

Наиболее простой вихревой системой, заменяющей крыло конечного размаха, будет система, состоящая из одного несущего вихря с напряженностью Г (рис. 166) и двух параллельных свободных вихрей с такой же напряженностью, сбегающих с концов крыла и простирающихся до бесконечности (необходимость последнего обстоятельства вытекает из теоремы о том, что вихревая нить нигде внутри жидкости не может окончиться и должна состоять все время из одних и тех же частиц; эта теорема имеет чисто кинематический характер и поэтому одинаково приложима как к свободному вихрю, так и к системе, состоящей из несущего и свободных вихрей). Однако в действительности подъемная сила отдельных элементов (профилей) крыла по мере приближения к концам крыла уменьшается, поэтому указанная вихревая система является лишь первым приближением. Для получения системы вихрей, более точно заменяющей крыло конечного размаха, следует наложить друг на друга очень большое число упрощенных систем, каждая из которых имеет бесконечно малую напряженность и свой размах (рис. 167). Такая система вихрей дает приближенную картину поверхности раздела, сбегающей с задней кромки крыла, однако без учета тех изменений, которые эта поверхность испытывает по мере удаления от крыла вследствие возрастающего свертывания. Чем меньше подъемная сила, тем медленнее происходит свертывание поверхности раздела, и в предельном случае очень малой подъемной силы этим свертыванием при определении поля скоростей вблизи крыла можно полностью пренебрегать.

2тга

(см. § 12 гл. II). Вихрь, простирающийся только назад от вертикальной плоскости, проведенной через крыло, вызывает в этой плоскости на расстоянии а от себя скорость, равную, из соображений симметрии, половине только что указанного значения, т. е.

4тта

В середине крыла скорости, вызванные вихрями, сбегающими с правого

и левого концов крыла, складываются; так как здесь а = ; где / есть размах крыла, то после сложения мы получим:

Wo = 2

47Г2

На основании теоремы Жуковского мы имеем:

поэтому

Wo = -.

wpvr

Начиная от середины крыла к его концам, скорость wo, как легко убедиться, возрастает, достигая на концах крыла бесконечно большого значения. Такой результат означает не что иное, как недопустимость предположения о сохранении подъемной силой постоянного значения на протяжении всего размаха. Более точная теория, исходящая из рассмотрения уточненной системы вихрей, изображенной на рис. 167, показывает, что скорость Wo получается постоянной по всему размаху

Для решения нашей задачи в ее упрощенной постановке надо определить около самого крыла только ту составляющую скорости, вызванную крылом, которая параллельна подъемной силе. Заменив крыло упрощенной системой вихрей, изображенной на рис. 166, мы получим для середины крыла следующий результат. Вихревая нить с напряженностью Г, простирающаяся вперед и назад от крыла до бесконечности, вызывает на расстоянии а от себя скорость