у2 Ч у2

jXdy j{p„-p)dt = pxjIdy.

Подъемная сила представляет собой приращение во времени этого количества движения. Следовательно, имея в виду, что = 5 > получим:

А = pv J Vdy. (95)

Это соотнощение выражает собой не что иное, как теорему Жуковского в применении к крылу конечного размаха.

Скорость Wl, с которой поверхность раздела опускается вниз после удара, примем для простоты постоянной, т. е., согласно сказанному по поводу формулы (94), поставим задачу об отыскании минимального индуктивного сопротивления. Эта скорость равна удвоенной индуктивной скорости w (см. приближенный расчет, сделанный на стр. 285 для случая, изображенного на рис. 165). Связь между циркуляцией Г на поверхности раздела и скоростью Wl определяется однозначно из второй краевой задачи теории потенциала, а именно, циркуляция Г пропорциональна скорости wi. Из соображений о размерностях можно принять, что

Tdy = Fiwi, (96)

где Fl есть некоторая площадь. Подставляя это значение интеграла в равенство (95), мы получим:

A = pFivwi. (97)

Для определения индуктивного сопротивления Wi воспользуемся законом сохранения энергии. Работа индуктивного сопротивления в единицу времени равна Wi V, а работа, совершаемая в эту же единицу времени подъемной силой для перемещения поверхности раздела, равна Aw = А. Приравнивая

обе эти работы и подставляя для скорости wi ее значение, определяемое из соотношения (97), мы получим:

Wi = \ = (98)

В случае прямоугольного крыла, для которого распределение циркуляции Г вдоль у имеет вид полуэллипса, величина Fi равна площади окружности, описанной на размахе / как на диаметре, т.е. Внося это значение Fx

Ударная сила на участке поверхности раздела длиной Л или, другими словами, количество движения на отрезке пути длиной Л равно

(99)

При вычислении этого интеграла необходимо особо исследовать его поведение около значения у = у, при котором он делается равным бесконечности. Следует взять так называемое главное значение этого интеграла.

в формулу (98), мы приведем ее к прежнему виду (94). Заметим, что при условии Wl = const формула (98) применима к любой системе прямолинейно движущихся крыльев (к одиночному крылу, к биплану, к крылу с концевыми щайбами, а также к крылу в аэродинамической трубе). Необходимо только в каждом отдельном случае определять соответствующее значение площади Fl.

Для лучшего уяснения формул (97) и (98) выведем их еще раз упрощенным способом. Примем, что масса воздуха с поперечным сечением Fi, над которой пролетело крыло, движется с постоянной скоростью wi в направлении действовавшей на нее силы, остальная же масса воздуха остается в покое. В каждую секунду крыло приводит в двжение массу, равную

М = pFiv.

Следовательно, изменение количества движения в направлении wi, эквивалентное действию подъемной силы А в течение одной секунды, равно

М Wl = pFivwi;

при этом масса воздуха приобретает кинетическую энергию,

которая, очевидно, должна быть равна работе Wiv, производимой индуктивным сопротивлением Wi на крыле в одну секунду. Таким образом, мы получаем:

pFiv" = WiV.

Отсюда, имея в виду, что

pFivwi = А, мы получим опять формулу (98).

Индуктивное сопротивление можно вычислить также для таких распределений циркуляции Т{у), которые не приводят к постоянной индуктивной скорости W. Учитывая, что индуктивная скорость w получается наложением скоростных полей отдельных бесконечно малых вихрей с напряженностью

---dy (у есть переменная интегрирования), мы легко найдем, на основа-

нии сказанного на стр. 286, что

dr dy

Г = В„ sinni?.

Cм., например, Fuchs, Hopf und Seewald, Aerodynamik, т. 2, стр. 139-180. 2 В e t z A ., Диссертация, Gottingen 1919; Ber. u. Abhandl. d. Wiss. Ges. f. Luftfahrt (Beihefte der ZFM), №2 (1920), стр. 1.

Trefftz E., Math. Ann., т. 82 (1921) №3/4.

Из рис. 165 видно, что индуктивная скорость вызывает скос потока, набегающего на крыло, вследствие чего действительный угол атаки равен

а = а - (fi,

где а есть геометрический угол атаки. Циркуляция Г (у) определенным образом связана с углом атаки а, а именно, при надлежащем определении этого угла {а = О для того положения профиля, в котором подъемная сила равна нулю) она пропорциональна углу а, т.е.

Г{у) = Cvha. (100)

Отсюда, имея в виду равенство (95), нетрудно найти, что

причем здесь а означает угол атаки при плоском обтекании (приближенное теоретическое значение коэффициента С равно тт, см. стр. 280). Для исключения угла а воспользуемся соотношением

а =а-(р = а---. (101)

В результате исключения мы получим для Т(у) интегрально-диференциаль-ное уравнение, решение которого должно дать зависимость Т{у) от геометрического угла атаки а и ширины крыла Ъ{у). Так как это уравнение линейно относительно Г(?/), то решение его возможно путем разложения Т{у) в ряд. Были предложены многочисленные способы выполнения такого реше-ния. Впервые это сделал Бетц для простого прямоугольного крыла, воспользовавшись следующим разложением в ряд:

/ = 2/: 2-

При таком способе решения индуктивная скорость ги(г/) получается как сумма целых функций п-й степени от г/. Однако определение коэффициентов An этого ряда требует утомительных вычислений. Трефти воспользовался рядом