Коэффициенты С и Л из уравнений (1.122) и (1.123) равны:

Хф*(2)2йГ91сГ92; (1.124)

1 1 1

+ -t?-f(--r-r-) fcwx

1 = -f

4Яео J

Ф«(/)Фб(/)Х

(1.125)

где dgi=dxidyidzu dg2=dx2dy2dz2 - элементы объемов интегрирования по пространственным координатам электронов.

На основе равенств (1.122) и (1.123), а также (1.124) и (1.125) можно сделать следующие замечания.

При рассмотрении молекулы водорода с учетом сил электростатического взаимодействия между частицами (в первом приближении) было получено расщепление энергии системы на два уровня, различающихся на 2А/

Коэффициент С в соответствии с выражением (1.124) представляет собой среднюю электростатическую (кулонов-скую) энергию взаимодействия двух атомов, ядра которых находятся на расстоянии JR, а заряды электронов «размазаны» по всему пространству с плотностями ефа() и е iфь (-2) 12. Коэффициент А не имеет классического аналога. Согласно выражению (1.125), он обладает размерностью энергии, которая носит электростатический характер, поскольку никакие другие виды взаимодействия не учитывались. Энергия Л возникает благодаря тождественности частиц, позволившей произвести операцию обмена электронами между атомами. Поэтому А называют обменной энергией или интегралом обменной энергии.

На рис. 1.16 представлены зависимости E=f{R/ao) для молекулы водорода (ао - боровский радиус атома водорода). Из кривых видно, что состояние, соответствующее -фУ с энергией =2Ео + С+А, является устойчивым, поскольку зависимость = f{R/ao) при R/aol,5 имеет минимум; состояние же, соответствующее фо\ неустойчиво, поскольку функция изменяется монотонно. Из указанных кривых следует, что интеграл обменной энергии Л в зависимости от величины R меняет не только значение, но и знак. На рис. 1.16 пунктиром показана экспериментальная кривая для энергии Е, которая хотя и несколько отличается от теоре-

Рис. 1.16. Энергия взаимодействия двух атомов водорода

тическои, но все же может служить подтверждением правильности полученного решения.

Далее выявим роль спина электрона. В квантовой механике спин вводится как дополнительная степень свободы электрона, так что волновая функция одной частицы зависит не только от трех пространственных координат х, у, z, но также и от спиновой переменной ю. Спиновая переменная а дискретна и принимает только два значения соответственно двум возможным ориентациям спина. Поскольку в этой задаче не учитывается магнитное взаимодействие электронов, то вероятность распределения по координатам не будет зависеть от направления спинов и полная волновая функция может быть представлена как произведение функций, зависящих от пространственных координат и от спиновых. В данном случае (молекулы водорода) это можно представить так:

iq, о) = фо(1, 2)T(oi. 02). (1.126)

где icti и аг - спиновые переменные первого и второго электронов соответственно.

Дальнейшие рассуждения требуют введения понятий симметричности и антисимметричности волновых функций. Если волновая функция не меняет знака при перемене координат электрона, то она симметрична; если меняет - антисимметрична.

В соответствии с этим функция -ар [выражение (1.122)] является симметричной, а функция ijjo [выражение (1.123)]-антисимметричной. Волновые функции спинов симметричны при параллельном расположении спинов и антисимметричны при антипараллельном.

Свойство симметрии волновых функций связано с определением возможных состояний системы. Согласно принципу Паули, полная волновая функция двух электронов должна быть антисимметричной. Отсюда, если учесть (1.126), следует, что симметричной волновой функции ij3o соответствует антипараллельное расположение спинов (антисимметричная спиновая функция), а антисимметричной волновой функции ijo - параллельное расположение спинов (симметричная спиновая функция).

Ранее было показано, что равновесному состоянию атомов в молекуле водорода соответствует функция и, следовательно, антипараллельное расположение спинов. Значит, магнитный момент молекулы водорода равен нулю, т. е. водород является диа-магнетиком. Это заключение подтверждается опытом.

При решении поставленной в § 1.6 задачи об энергетическом состоянии молекулы .водорода нигде не вводилось магнитное взаимодействие и, несмотря на это, на основании принципа Паули получен вывод о том, что энергия системы зависит от спинов и их состояния, т. е. от намагниченности системы. Кроме того, было установлено, что энергия системы определяется не только квазиклассической электростатической энергией, но и обменной энергией, обусловленной тождественностью частиц и не имеющей классического

аналога. Полученные выводы легли в основу квантовой теории самопроизвольной намагниченности.

При решении этой задачи Френкель и Гейзенберг определяли энергию системы, состоящей из водородоподобных атомов, электроны в которых находятся в s-состояниях. Общий ход решения был таким же, как и при рассмотрении молекулы водорода. Вначале анализировалась система изолированных атомов, каждый из которых обладает энергией Ео. Затем учитывалось взаимодействие всех частиц между собой. Строгий учет этого взаимодействия представляет большие математические трудности. Поэтому Френкель и Гейзенберг приняли ряд допущений, главное из которых состояло в том, что отбрасывались все виды взаимодействий, кроме электростатического.

Полная энергия, как и в случае молекулы водорода, была представлена в виде суммы трех составляющих: энергии изолированных атомов Л£о, энергии обычного электростатического взаимодействия электронов и ионов С и обменной энергии обм. Далее было получено выражение для интеграла обменной энергии между атомами t и j и произведено суммирование для определения полной обменной энергии Еобм системы, которая может быть представлена в следующем виде:

= -2 2Я,/((Т,<т,-) (1.127)

o6m=-2 2/7cos<p,7, (1.128)

где Oi, Oj - векторы электронных спинов (спиновые механические моменты) атомов i и / в единицах Н; фг/ - угол между направлениями векторов спиновых моментов.

Учитывая, что Aij быстро убывает по мере увеличения расстояния между атомами, при суммировании можно ограничиться только ближайшими соседями ,и представить £обм несколько иначе, чем это сделано в выражениях (1.127) и (1.128).

Для системы, содержащей атомов, каждый из которых имеет Z ближайших соседей, при условии параллельного расположения всех спинов (=1) величина £обм=-NzA, где A=Aij для ближайших соседей. Если не все спины параллельны, то вероятность того, что направление спина для данного атома совпадает с выбранным направлением, приблизительно равна у, а вероятность того, что это будет иметь место для двух соседних атомов, пропорциональна у. Следовательно, можно написать, что

Е=~МуЧА. (1.129)

Из (1.129) следует, что если интеграл А для соседних атомов положителен, то минимум обменной энергии получится при у= + \, т. е. при намагниченном до насыщения состоянии вещества. Следо-