моделей канала мы можем судить о качестве кода при получении жёстких и мягких решений (детектора) в цифровых системах связи.

Третья модель канала сфокусирована на нахождении пропускной способности в бит/с непрерывного (по входу и выходу) канала. В этом случае мы предположили ограничение полосы частот канала, что сигнал искажается в канале аддитивным белым гауссовским шумом и что средняя мощность передатчика ограничена. При этих условиях мы получили результат, даваемый (7.1.31).

Главное значение формул для пропускной способности канала, данных выше, это то, что они служат верхней границей скорости передачи для реализуемой связи по каналу с шумом. Фундаментальная роль, которую играет пропускная способность канала, определена теоремами кодирования в канале с шумами, данными Шенноном (1948 а).

Теоремы кодирования в канале с шумами

Существуют кодеры канала (и декодеры),которые делают возможным достичь надежную связь со столь малой, насколько желательно, вероятностью ошибки, если скорость передачи R<C, где С-пропускная способность канала. Если R>C, то нет возможности обеспечить стремление вероятности ошибки к нулю каким угодно кодом.

В следующем разделе мы исследуем выгоду кодирования для моделей каналов с аддитивным шумом, описанных выше, и используем пропускную способность канала, чтобы судить о доступном качестве реального кода.

7.1.3. Пропускная способность канала, достигаемая при помощи ортогональных сигналов

В разделе 5.2 мы использовали простую объединённую границу, чтобы показать, что для ортогональных сигналов вероятность ошибки можно сделать сколь угодно малой путем увеличения числа сигналов М при условии, что <fj/A/a>21n2. Мы указывали, что простая объединенная граница не дает наилучшую нижнюю границу для ОСШ на бит. Проблема в том, что верхняя граница, использованная для аппроксимации х) не очень плотная при малых х.

Альтернативный подход сводится к использованию двух различных верхних границ для х) в зависимости от величины х. Начиная с (5.2.21), мы видели, что

l-fl-elyjr М-)0{у)<Мс--. (7.1.38)

Это как раз объединенная граница, которая плотная, когда у велико, т.е. у>Уа, где у, зависит от М. Если у мало, объединенная граница превышает единицу для больших М. Поскольку

1-0{у)] <1 (7.1.39)

для всех у, мы можем использовать эту границу для у<Уа, т.к. она плотнее, чем единичная граница. Тогда (5.2.21) можно оценить верхней границей так:

Величину у, которая минимизирует эту верхнюю границу, можно найти дифференцированием правой части (7.1.40) и приравниванием производной нулю. Это выполняется легко и решение таково:

e-f = M (7.1.41)

или, что эквивалентно,

Уа = V21nM = V21n21og2 М = V2A:ln2 . (7.1.42)

Определив , вычислим простые экспоненциальные верхние границы для интегралов в (7.1.40). Для первого интеграла имеем •

= ОУ2-Уо), Уо<Ф,

<е-(-)/\ у,<. Второй интеграл ограничен сверху так:

(7.1.43)

V27t к 12п

л-л/г72

е сЬск

(7.1.44)

Ме-/ (У,<4Ф.)

Объединяя границы для двух интегралов и подставив е " для М, мы получим

В области О < < л/7

<e(--)/(l + e-("-)<2e(»-)/ (О<Зо (7-1.46)

В области -у/ - VY два слагаемых в (7.1.45) идентичны. Следовательно,

Р,, <2е-(-°)/, (у1ЬУо)- (7-1-47)

Поскольку = л/21пЛ/ = V21n2 и у-ку, границы (7.1.46) и (7.1.47) можно выразить так:

2gM.„2)V2 (lnM<iY)

(7.1.48)

Первая верхняя граница совпадает с объединённой границей, представленной ранее, но она шире для больших значений М. Заметим, что Р 0, когда А->оо (М->оо) при условии, что >21п2. Но 1п2 - это предельное значение ОСШ на бит, требуемое для надёжной передачи, когда скорость передачи равна пропускной способности канала с АБТШ при неограниченной полосе частот, как было показано в разделе (7.1.2). Действительно, если выражения

у о = у/2к In 2 = л12КТ\п2, Y = =7CJn2 = CJn2

(7.1.49)

подставить в две верхние границы, даваемые (7.1.46) и (7.1.47), где С = Р/(Na\n2)-

пропускная способность канала с АБГШ при неограниченной полосе частот, получаем результат

,r- } ~ " Ч (7-1-50)

Таким образом, мы выразили границы через и битовую скорость по каналу 7. Первая верхняя граница приемлема для скоростей ниже iC,, в то время как вторая плотнее, чем первая, для скоростей между С и С„ Ясно, что вероятность ошибки можно сделать произвольно малой, взяв Zoo (ЛУ->оо для фиксированного R), в предположении, что R < С = Рр I (о 2). Более того, мы видели, что ансамбль

ортогональных сигналов достигает границ пропускной способности канала, когда М ос, когда скорость R < С„ .

7.1.4. Функции надёжности канала

Экспоненциальные границы для вероятности ошибки М-ичной ортогональной системы сигналов в канале с АБГШ и неограниченной полосой, даваемые (7.Г50), можно выразить так

<2-2-" (7.1.51)

Показатель экспоненты

E{R)

(4с:-fR) (ia.<<cj ""

в (7.1.51) назван фуикцией надёжности канала с АБГШ и неограниченной полосой. График E{R)/Q дан на рис. 7.1.9. Показан также показатель экспоненты для объединённой границы для Р,, даваемый (5.2.27), которую можно выразить так:

У,/<i-2-"("" 0</?<iC„. (7.1.53)

Ясно, что показатель экспоненты в (7.1.53) не так плотен, как E{R) из-за изменения аргумента в объединённой границе в широких пределах.

Как показал Галлагер (1965), границы, даваемые (7.1.51) и (7.1.52), являются экспоненциально плотными. Это подразумевает, что не существует другая функция надёжности, скажем E{R), удовлетворяющая условию E{R) > E{R) для произвольного R. Следовательно, вероятность ошибки ограничена сверху и снизу как

где константы имеют только слабую зависимость от Т, т.е. они меняются медленно с изменением Т.

Поскольку ортогональные сигналы обеспечивают по существу то же качество, что и оптимальные симплексные сигналы для больших Л</, нижняя граница в (7.1.54) приемлема для любого ансамбля сигналов. Следовательно, функция надёжности E{R) , определяемая (7.1.52), определяет экспоненциальные характеристики вероятности ошибки для цифровых сигналов в канале с АБГШ и с неограниченной полосой частот.