Выполнив простые преобр;»зован1И в (2.1.126), получим для ФПВ R

а"

Это ФПВ для рслсевской сллч.тной величины. Соответствующая ИФР равн.!

Моменты от R равны а дисперсия

а;=(2-1лК-.

Характеристическая функция для распределённой по Ре.лсю случайной встичины

«0v)=f"e-V2.V-,/.. Jo а"

Этот интеграл можно выр;1зить так:

СО 2/2 f 2/2

4 j(yV)= J-е"*" cosvn*- + yJ-е"* sia.vrdr =

(2.1.128) (2.1.129)

(2.1.130) (2.1.131)

(2.1.132) (2.1.133)

(2.1.134) (2.1.135)

Л = ,ЕА7. (2.1.136)

где.\,. ;=1, 2,.... п, статистически независимые одинаково распределенные гауссовские случайные величины с нулевым средним. Ясно, что Y=R имеет хн-квадрат-распределение с п степенями свободы. Его ФПВ задаётся формулой (2.1.100). Простые преобразования переменной в (2.1.110) приводят к ФПВ для R в виде

1,-,--I-a

12 2

•Wl2

где \F\{\,\l2-a) - это вырожденная гипергеометрическая фушщия, определяемая как

,,„,-,,-2...

к=а Г(а)Г((3+А)А:!

Боу.ли (1990) показал, что \Fi[\,\l2,-a) можно выразить как

\ 1 "

о(2А--1)А-!

Как обобщение полученных выше выражений рассмотрим случайную величину

Г >0.

(2.1.137)

Как спедствие фундаментальной зависимост)! ме/кд) центр;1льным хи-квадрат-распределснисм и рслсевским распределением, соответствующая ИФР дост,)точно простая Так, для .шобого п ИФР доя R \южно представить в форме неполной Гс1мма-(11ункции. В спещ1а.льном случае, когда п четно, т.е. когдд n=2tn. ИФР Д1Я R моясет быть представлено в замкнутой форме

Г ..г V

Г>0. (2.1138)

2/ 2™ 1

t=0 К\ \

В зашпочение приведём формулу для А-го момента R

r(i«)

справедчивую д.1я любого л.

(2.1.139)

Распр4;делен11е Paiica. В то время как распределение Релея связано с центральны»! хи-1свадрат-рюпределением, распределение Раиса связано с нецентральным хи-квадрат-распределением. Чтобы проиллюстрироють эту связь, положим Y=X\+X, где Х\ н Лг - статистически независимые гауссовские с.тлчайные величины со средним ш„ /-1, 2 и одинаковой дисперсией а. Из предьщ>щего рассмотрения мы шем, что У имеет нецентра.чьное хи-кв;1драт-распределение с параметром отклонения .v=ff/,+wb- ФПВ для У ПОЛ) Lieu из (2.1.118), а при п=2 Н£1ходим

Ъг V a J

Теперь введём новую переменную Л=У". ФПВ дляЛ получается из (2.1.140) путём замены переменной

Чет")

г>0.

(2.1.140)

(2.1.141)

Функция (2.1.141) называется распределением Раиса.

Как будет показано в гл. 5, эта ФПВ характеризует статистику огибающей гарлюнического сигнала, подверженному воздействию узкополосного гауссовского шума. Она также используется для статистики сигна.ла, переданного через некоторые радиоканалы. ИФР для R легко найти из (2.1.124) д.ля случая, когда т=1. Это даёт

S г Vct ау

г>0.

(2.1.142)

где Qi{a,b) определяется (2.1.123).

Для обобщения приведённого выше результата пусть R определяется (2.1.136), где Х/, /=1,2, ...,7 -статистически независимые случайные величины со средними /=1, 2,... п и одинаковыми дисперсиями сг. Случайная величина R~=Y mieer нецентральное хи-квадрат-распределение с п-степенями свободы и нецентральным параметром s", определяемое (2.1.119). Её ФПВ определятся (2.1.118), следовательно, ФПВ Д.1Я R равна

Pnii-)-

n 2-1

,->0,

а соответствующая ИФР

(а-) = P{R = P{4y <r) = P(Yr) = Fy (r), где F){r) определяется (2.1.121). В частном случае, когда и/=н/2 - целое число, имеем

л(0-1-а/-.-\ r>Q.

которое следует из (2.1.124). В заключение отметим, что к-й. момент отЛ

£(Л)-(2а) е

п+к 11 S

2 2CTj

Л>0,

(2.1.143)

(2.1.144) (2.1.145)

(2.1.146)

где iFi(a,P;jc) - вырожденная гипергеометрическая функция.

п1-распределеш1е Накагам1ь И распределение Релея, и распределение Раиса часто используется для описания статистики флуктуации сигнала на вььходе многопутевого канала с з;1миранияии. Эта модель канал;! рассматривается в гл. 14. Другое распределение, часто используедюе для харагсгеристики статистики сигналов, передаваемых через многопутевые каналы с замираниями - это »г-распределение Накагами. ФПВ Ачя этого расгфеде.ления дано Накагами (1960)

Г >0,

Pr(i) =

Г(п.)

2т-\-тг О

где О определяется как

n = E{R),

а параметр т определяется как отношение моментов и назван параметром замираний;

(R-df

(2.1.147) (2.1.148) (2.1.149)

Нормализованную версию для (2.1 147) можно получить путём введения другой случайной величины .V = я/ Vo (см. задачу 2.15). п-й момент от R равен

Е(Д") =

При ш=1 можно видеть, что (2.1.147) приводит к распределению Релея. При значениях т, удов.летворяющих условию 0,5<от1, получаем ФПВ, которая имеет более протяжённые хвосты, чем при распределении Релея. При значениях т>1 хвосты ФПВ распределения Накагами убыкшт быстрее, чем д.и распределения Релея. Рисунок 2.1.10 иллюстрирует ФПВ д.ля раз.личных значении т. 48

Многомерное гауссовское распределение. Из многих многопаршетрических или многомерных распределений, которые могут быть определены, многопарпметрическое распределение Га>сс1 н;11:болсс важное и наиболее часто испо1ьз>ется ai практике. Введем это распределение и рассмотрим его основные свойста!.

Предположим, irro .¥„ /=1. 2, .. п являются гауссовскими случйными величинами со средними т,-, 2 ..я, дисперсиями а, /=1, 2,... п и коварищиями Цу, /= /--1 2,... п. Ясно гго ц,=а,-, /--1, 2,... п. Пусть М -это матрица ковариации р.13мерности пхп с элемент;.ми Пусть X определяет пх\ вектор-столбец

cyгшныx вел№ган и пусть и/;, означает wxl вектор-столбец средних значений и;,, 2,. . п. Совместная ФПВ rayccoBcioix случайных величин Ji ;=1 2 ... п, опреде.тяется так

Р(Л,.Л,,...,Л„) = -

- e.xp[--(x-m,/M-(x-m,)]

(27г)" -(det М)

где М - матрица, обратная М, и ознапет транспонирование х.

Характеристическая функция, соответствующая этой л-мерной совместной ФПВ

4/0v) = £(e),

где V - ;7-мерный вектор с элементами v /=1 2, .. п.

Вычисление этого л-мерного преобразования Фрье даёт результат

v/(7v) = e.xp( /m- \ vMv).

(2.1.150)

(2.1.131)

Важне1(ший чпстньй сл\ч;1Й (2.1.150) - это бипараметрическая или двухмерная гауссовск;1я ФПВ Вектор средних пь и коварияционная матрица М для этого cлyLlя

где совместный центральный люменг \..i2 определяется так-

ц,2 =£:[(Л,-/Н)(.\2 -/«2)1 Удобно ввести нормировшкыи коэффициент ковариации

(2.1.152)

а.а.

(2.1.153)

где p,j здовлетворяет условию 0<ру1 В двухмерном случае обычно опускают индексы в цп и р>,-, тогда ков;риационная м;1триц:1 выражается в виде

Ст; ра,а

.Р\2

Обратим м.прица

м- =

afai(l-p)

а" -ра,ст.

-рст;а2

(2.1.154)

(2.1.155)

и detM = a:a{l-p ).

Подставляя выражение М в (2.1.150), получаем для двухмерной ФПВ пуссовских случайных величин

р(.Г,,х2) = -

2лаа2\/1-р

гСХр

02(1-ffli)-2paiCT (X -/?.i)(x, ~ffl2)+<i(:-"2)

2аГа2(1-р)

(2.1.156)

3.1метим что если р=0, СФПВp(xi,.vj) в (2.1.156) превращается в произведениеp(Xi)p(x->), гдер(х) i=l. .-собственные ФПВ. Поскольку р является мерой корреляции между Y] и Xj, то видим что если гауссовские случайные величины не коррелированы, они таюке статистически независимы.

4-56